新・物理入門 p28 第2章 力学 9行目 のn乗が入ってる式への式変形が分かりません。 この本のこ

新・物理入門 p28 第2章 力学 9行目
のn乗が入ってる式への式変形が分かりません。
この本のこのページより前に出てきた式、設定は色々あるので、この本を持ってる方出ないと分かりにくいかもしれません。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/20 12:55

No.1 です。

その本（山本義隆「新・物理入門」）を持っているので確認しました。

「速度に比例した空気抵抗がある場合の自由落下」が「終端速度」に落ち着く話ですね。
運動方程式
　m*dv/dt = mg - ρv
→　a(t) = g - (ρ/m)v = g - λv　（ρ/m = λ）
として微小時間 Δt ごとの「加速度の漸化式」を作っているので、議論としては #1 に書いたものでよいはずです。

原著では、上の運動方程式の「空気の抵抗係数：ρ」を「k」で書いてあるので、ひょっとすると「漸化式」の k と「抵抗係数」を混同して分かりづらくしているのかもしれません。
その下の「終端速度」を求めるところで、再び
　v(t) → v(∞) = g/λ = mg/k
と「空気の抵抗係数：k」を使った式になっていて、上の漸化式の「t = kΔt」としているときの「k」と紛らわしいですね。

漸化式の方を
　t = jΔt
とでもして
　a(jΔt) = g - λv(jΔt)
として、j → j+1 にしたものを
　a((j+1)Δt) = g - λv((j+1)Δt)
と書けば
　a((j+1)Δt) - a(jΔt) = -λv((j+1)Δt) + λv(jΔt) = -λ[v((j+1)Δt) - v(jΔ)]
であり、Δt が十分小さければ
　v((j+1)Δt) - v(jΔ) = a(jΔt) * Δt
ですから
　a((j+1)Δt) - a(jΔt) = -λΔt*a(jΔt)
→　a((j+1)Δt) = (1 - λΔt)*a(jΔt)
という「公比：(1 - λΔt)」の「等比数列」としての「a(jΔt)」の漸化式が書けることになります。
「j」は単なる「第ｊ項」を示す項番号であって、「抵抗係数：k」には全く関係ありません。

こんな説明で納得できますか？

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます！
納得出来ました！

お礼日時：2020/03/20 13:17

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/19 23:10

詳しいことは分かりませんが、ここにあげられた範囲でいえば

a(0) があって、
a(1) = A*a(0)
a(k-1) に対して a(k) = A*a(k-1)
という数列があれば、これは単純に
　a(n) = A*a(n-1) = A^2*a(n-2) = A^3*a(n-3) = ・・・ = A^n*a(0)
と表せるということです。
何も高級なことはしていません。

この回答へのお礼

ただの等比数列だったんですね、
分かりました！ありがとうございます！

お礼日時：2020/03/20 13:17