空間ベクトルです！ 空間内にA(1,0,0) B(0,1,0) C(2t,2t,2t) が与えられて

空間ベクトルです！

空間内にA(1,0,0) B(0,1,0) C(2t,2t,2t) が与えられている時三角形ABCの面積はいくらになりますか⁇

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/04/06 07:39

こういうのは、ベクトルの「三角形の面積の公式」に当てはめるだけ。

以下、ベクトルの矢印は省略するので、適当に補って欲しい。

-----公式-----
ベクトルaとベクトルbで構成される三角形の面積は、
(1/2)√{|a|²|b|²-(a･b)²}
と表される。

もし、aとbが平面ベクトルで、その成分が、それぞれ(a1,a2),(b1,b2)
だとすると、上式は、(1/2)|a1b2-a2b1|となる。
------------

ベクトルAB=(-1,1,0)、ベクトルAC=(2t-1,2t,2t)で、
|AB|²=2、|AC|²=12t²-4t+1、AB･AC=1であるから、
△ABC=(1/2)√{2･(12t²-4t+1)-1²}
=(1/2)√(24t²-8t+1)

この回答へのお礼

ありがとうございました。とてもわかりやすかったです‼︎

お礼日時：2020/04/06 11:35

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/04/05 23:30

空間内の三角形ABCの辺の長さは、

AB=√((1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2)=√2
BC=√((0-2t)^2 + (1-2t)^2 + (0-2t)^2)=√(4t^2 + 4t^2 - 4t + 1 + 4t^2)=√(12t^2 - 4t + 1)
CA=√((2t-1)^2 + (2t-0)^2 + (2t-0)^2)=√(4t^2 - 4t + 1 + 4t^2 + 4t^2)=√(12t^2 - 4t + 1)

3辺の長さが分かったので、三角形ABCの面積はヘロンの公式で求めることができる。
√(s(s-a)(s-b)(s-c))

s=(a+b+c)/2=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)
s-a=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)-√(12t^2 - 4t + 1)=(√2/2)
s-b=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)-√(12t^2 - 4t + 1)=(√2/2)
s-c=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)-√2=(-√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)

√{((√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1))(√2/2)(√2/2)((-√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1))}
=√{(-(1/2)+(12t^2 - 4t + 1))(1/2)}
=√{((12t^2 - 4t + (1/2))(1/2)}
=√(6t^2 - 2t + (1/4))
=√(6(t-(1/6))^2 - (1/6) + (1/4))
=√(6(t-(1/6))^2 + (1/12))

ゆえに、三角形の面積は√(6(t-(1/6))^2 + (1/12))
全ての実数tにおいて三角形ABCの面積は成立する。