数学の問題集をしていたら、やり方がわからないところがあったので
《問題集より》
* 平面上の三つのベクトルをOAベクトル=(4,x)、
 OBべクトル=(1,2)、OCベクトル=(x,6)とする。
 3点A,B,Cが一直線上にあるようなxの値を求めよ。

                  答えは -2,5 です

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A 回答 (4件)

こんなので分かりますか?



A,B,Cが一直線上にあるので、AB//BC。

ABベクトル = (-3,2-x)
BCベクトル = (x-1,4)

∴-3:(2-x) = (x-1):4

(x-1)(x-2) = 12
x^2 - 3x + 2 = 10
x^2 -3x - 10 = 0
(x-5)(x+2) = 0

∴ x=5,-2

この回答への補足

よろしかったらこの問題もよろしくおねがい致します。

xy平面上に点A(1,2)、B(2,1)がある。点Pがx軸上を動くとき
PAベクトル+3PBベクトルの大きさが最小になる点Pの座標を求めよ。

補足日時:2001/08/08 21:34
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この回答へのお礼

回答してくださってありがとうございました。
そういう考え方もあるのですね。
厚かましいとは思いますが余力があれば補足の問題もよろしくお願いします。

お礼日時:2001/08/08 21:33

すいません。

AとBの座標を取り違えてました。ですから、
No.3の解答は間違いです。
正しくはpiro19820122のとおりでよろしいかと思われます。
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補足に対する解答です。

ヒントだけ・・・と思いましたが、
答えを書いたほうがまとめやすそうだったので、解答を。

素直に考えればよろしいでしょう。ポイントは、「大きさが最小になる」という記述をどう
捉えるかです。

Pの座標を(p,0)とすると、
PA(vector)=(2-p,1)
PB(vector)=(1-p,2)
ですよね。よって、
PA(vector)+3PB(vector)=(5-4p,7)
となります。ここまでは多分普通に考え付くと思います。問題はこの先。
「大きさが最小」って言われているのですから、大きさを計算してあげましょう。

PA+3PB=√{(5-4p)^2+49}
ですね。単純に考えて、(5-4p)^2は0以上ですよね。ならば、これが0になるときが、
最小値ってことになりますよね。それは、p=5/4となる点です。また、そのときのベクトルの
大きさは7ってことですね。あってますか?

一般に、長さが最小になるという場合には、
1)微分して、微分した式が0になる
2)二乗の中身が0になるようにする(二次関数の場合など)
など、いろいろな方法があります。微分積分は最もよく使われる方法ですので、
微分を習った際には、ぜひこのことを思い出して下さい。
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この回答へのお礼

微分は1学期にならったので、なるほど!と思いました。
1)、2)ともに頭に入れて今後の参考にしようかと思います。
親切なアドバイスありがとうございました。

お礼日時:2001/08/09 00:47

面倒なので「ベクトル」は省略します。



OA = (1,2)
OB = (2,1)
OP = (x,0)
 以上のように表現できますね。

PA = (1-x,2)
PB = (2-x,1)

PA+3PB = (7-4x,5)
|PA+3PB|^2 = (7-4x)^2 + 5^2 = (4x-7)^2 + 25

これより、|PA+3PB|^2 は 4x-7=0 のとき最小値25をとる。
したがって、|PA+3PB| は x=7/4 のとき最小値5をとる。

つまり問題の答えは、(7/4,0)ということですね。
(計算間違いしてなければ)

そうそう「これで十分」という回答があった場合は、回答受付を締切にした方が良いと思いますよ。
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この回答へのお礼

何度もすみません。
とてもわかりやすっかたのでもう一個質問してしまいました。
>PA+3PB = (7-4x,5)
ここまでは思いついたのです。けれどもここから関数に持っていくのが気がつきませんでした。
>|PA+3PB|^2 = (7-4x)^2 + 5^2 = (4x-7)^2 + 25
これは座標をx座標、y座標を二乗したということですね!
初めて知りました。

この 教えて!goo は皆さんの親切さでどんどん知識がついてきます。
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/08/09 00:39

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解答を書きづらいようでしたら、ヒントだけでも構いませんので教えて頂けると幸いです。

Aベストアンサー

>> 4↑OA+5↑OB+6↑OC=↑O
>> |↑OA|=|↑OB|=|↑OC|=1
---------

6↑OC=-(4↑OA+5↑OB)、
|6↑OC|=|-(4↑OA+5↑OB)| 両辺を2乗して、
36|↑OC|^2=16|↑OA|^2+40↑OB・↑OA+25|↑OB|^2
36=16+40↑OB・↑OA+25
0=40↑OB・↑OA+5
-2↑OB・↑OA=(1/4)

AB^2=|↑OB-↑OA|^2
,,,,,,,,,,,=|↑OB|^2-2↑OB・↑OA+|↑OA|^2
,,,,,,,,,,=2+(1/4)=(9/4)

AB=3/2

お茶の水女子大学の出題だったと思いますが。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qaベクトル=(1,2,1) bベクトル=(2,3,1) cベクトル=(3,5,2) について k・a

aベクトル=(1,2,1)
bベクトル=(2,3,1)
cベクトル=(3,5,2)
について
k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
になるのが
k+m=0
l+m=0
であり、この解がk=m,l=m,m=m (mは任意の実数)
となって
-m・aベクトル-m・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
より、cベクトル=aベクトル+bベクトル
と参考書ではしていたのですが、なぜ
「k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル」を考察することにより「cベクトル=aベクトル+bベクトル」という関係を見出すことができたのですか?

Aベストアンサー

> k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル

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つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

Q単位円上に3点A,B,CがあったときOA↑+OB↑+OC↑=0↑ならば

中心を原点Oとする単位円上に3点A,B,Cがあったとき、

OA↑+OB↑+OC↑=0↑

と3つのベクトルの和が0となるとき、

∠AOB=120度、∠BOC=120度、∠COA=120度

であることを示したいのですが、どうすればよいのでしょうか?

幾何学的(図形的)に考えれば、ほぼ自明のような気もしますが。

三角関数を用いれば、
cos(θ_1)+cos(θ_2)+cos(θ_3)=0,
sin(θ_1)+sin(θ_2)+sin(θ_3)=0
ならばcos(θ_1-θ_2)=cos(θ_2-θ_3)=-1/2
を示せばよいことになりますが。

複素数を用いれば、
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω(ただし、ωは1の3乗根)
を示せばよいことになりますが。

Aベストアンサー

複素数を用いれば、
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω(ただし、ωは1の3乗根)
を示せばよいことになりますが。
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
e^(iθ_1)で割って、
e^i(θ_2-θ_1)+e^i(θ_3-θ_1)=-1
これから第1項と第2項は共役(実部は-1/2なので、
cosを計算してもでる)
φ=θ_2-θ_1
とおくと、θ_3-θ_1=-φ
e^iφ+e^i(-φ)=-1
両辺にe^iφをかけて、
e^i2φ+1=-e^iφ
e^i2φ=-e^iφ-1
両辺にe^iφをかけて、
e^i3φ=e^iφ(-e^iφ-1)=-e^2iφ-e^iφ
=e^iφ+1-e^iφ=1
e^i3φはω(ただし、ωは1の3乗根)
とか


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