単振り子の周期 T=2π√(l/g)はsinθ≒θとする、近似式ということを知ったのですが。

単振り子の周期 T=2π√(l/g)はsinθ≒θとする、近似式ということを知ったのですが、

単振動の周期 T=2π√(m/K)も近似式なのでしょうか？

教えていただければ幸いです。(*- -)(*_ _)ﾍﾟｺﾘ

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます！！

    補足日時：2020/05/05 13:48

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/05 11:38

ご存じの通り、単振動は

半径A、角速度ωで等速円運動する点に円周の真横から光をあてたとき、その先にあるスクリーンに映った点の影の動きと同じ運動となります
ゆえに、単振動の変位は　x=Asinωt
単振動の速度は　v=dx/dt=Aωcosωt
単振動の加速度は　a=dV/dt=-Aω²sinωt=-ω²x…① となります。
これを踏まえて、実際に単振動する質量ｍの物体を考えます
①を用いて運動方程式を立てると、F=ma=m(-ω²x)=-mω²x これが　位置ｘにある物体に働く復元力ということになるので
mω²＝ｋ…②とおけば　単振動の復元力は　F=-Kxと表されることになります（・・・これは見慣れたフックの法則と同形で、自然長からxだけ引き延ばされたバネの復元力を思い起こしますよね。ちなみに　「-」は変位の向きと復元力の向きが真逆という意味です）
さてここで、ω=2π/T という関係がありましたから
先の復元力が起こす単振動の周期は、T=2π/ωです
②より　ω＝√(k/m)ですから
T=2π/√(k/m)=2π√(m/K)
と導出できるわけです
見ていると、ここまで近似は何一つ行われていないということが分かりますよね

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます！

お礼日時：2020/05/14 02:01

No.4 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/05/06 08:25

考え方が逆ですね。

ご質問者が単振動の式と呼んでいるのが近似なのです。そもそも，そこらへんにころがっているバネの抵抗力Fが定数抵抗係数kを通して伸びxとF=kxになるって事実ですか？ま，そんな綺麗な材料は実際は存在しない。でも，xが小さければ，だいたいそうなる，そうあって欲しいってんで，線形理論を構築していますよ。まずは解けるような定式化をしましょう。その基本が線形理論です。理論というのは，あるモデル，つまりある仮定や前提の下にのみ成立するもの。振り子は真面目にニュートンの法則を使うと非線形（sin関数が残る）なので，東大工学部の学生さんでも半分の人は解けない。でも現象を観察すると角度は小さいからsinをTaylor展開して最初の項だけ使いましょうとなっているだけ。でも，じゃ，θが45度くらいから振動させると周波数は違うか？というと，最初の主要な差異だけに着目すると (振幅)^2/16 くらいの誤差なので，45度つまり0.79ラジアンだと (0.79)^2/16=4%くらいの差にしかならんのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/05 10:01

単振動は厳密解です。

そもそもどのように導かれているのか、ということがわかれば解決すると思います。
微分・積分が理解できていないといけませんが。
（いずれも、空気の抵抗や摩擦・損失がないという理想的な条件が必要です）

単振り子
(1) 近似解
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/catego …

(2) 厳密解
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/catego …

バネの単振動
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/catego …

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます！

お礼日時：2020/05/14 02:01

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/05 05:32

いいえ。

単振動の周期(これはバネの場合でｋはバネ定数)は厳密式です。

振り子のsinθ≒θ

は振り子を単振動とみなすための条件です。