指数の大小関係の問題です。 底が1より小さいのときは底が小さいほど大きく、底が1より大きいときは底が

指数の大小関係の問題です。
底が1より小さいのときは底が小さいほど大きく、底が1より大きいときは底が大きいほど大きくなる
というのは分かるのですが、、
指数の何乗するかのとろも同じことですか？マイナスになるときとか、、なんかとにかく分からなくなってきました。
この３つの問題どうやったらいいのでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/21 14:41

底は底　何乗部分は何乗部分でわけて考えます

（１）なら １クッションおいて0.8^0.8との大小比較をします
　0.8の●乗なので　底0.8をみて　●が大きくなるほど　0.8の●乗は小さくなります
要するに　ｙ＝0.8^xという関数（グラフ）はxが大きくなるほどyは小さくなるということです
だから　x部分が0.9>0.8であることより　y=0.8^0.9より　y=0.8^0.8のほうが大きくなります
⇔0.8^0.9<0.8^0.8

次に　　何乗部分がそろっている場合です
結論から言えば
y=x^aでは　ｘが大きくなるほどyもおおきくなります・・・①
これは√xを参考にすれば分かりやすく　a=1/2とすれば
y=x^(1/2)=√xについて
xが大きくなるほどyも大きくなりますから（y=√x⇔y²=x 、ｘが大きくなるほどｙ²も大きくなる⇔ｘが大きくなるほどyも大きくなる）
a部分が1未満であろうとも①が成り立つことが想像できるはずです

ゆえに0.8^0.8<0.8^0.9

1クッションおいて
0.8^0.9<0.8^0.8　、0.8^0.8<0.8^0.9と分かりましたから
0.8^0.9<0.8^0.9とわかるのです

(2)(3)もクッションを使って大小が分かるはずです

この回答へのお礼

とても詳しくありがとうございます！理解できました！

お礼日時：2020/05/21 18:13

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/21 14:48

#1訂正　終盤の「ゆえに」以降間違いました

　正しくは

ゆえに0.8^0.8<0.9^0.8

1クッションおいて
0.8^0.9<0.8^0.8　、0.8^0.8<0.9^0.8と分かりましたから
0.8^0.9<0.9^0.8とわかる

です

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/21 15:08

#1,#2さらに補足

正の実数aに関して
a<b⇔a^n<b^n…①が成り立ちます(ただしｎは自然数）
つまり　正の数なら何乗しても大小関係が変わらないということです

これを(1)で0.8^0.8と0.9^0.8の比較に応用するのも良い作戦です！！
両者を5乗！
すると指数法則により　(0.8^0.8)⁵=0.8^(0.8x5)=0.8⁴=0.64²（＝だいたい0.36を少し上回るくらいの数字）
(0.9^0.8)⁵=0.9^(0.8x5)=0.9⁴=0.81²（=0.64を上回るくらいの数字)
ゆえに　(0.8^0.8)⁵<(0.9^0.8)⁵
ということは①により　5乗する前も大小は同じで(0.8^0.8)<(0.9^0.8)　ということになります！