a(1)=1, a(2)=1, a(n+2)=a(n+1)+a(n) (n≧1)を利用する証明問題

a(1)=1, a(2)=1, a(n+2)=a(n+1)+a(n) (n≧1)－①
のとき、σ(i=1~n)a(i)=a(n+2)-a(1) を証明せよ
という問題で、
①式より、a(n)=a(n+2)-a(n+1) (n≧1)なので、
σ(i=1~n)a(i)=σ(i=1~n){a(i+2)-a(i+1)} とすると、
差の中抜けが起こるので、=a(n+2)-a(2) と求まるのですが、
ここで、a(1)=a(2)=1なので、=a(n+2)-a(1)
と答えても正解になるのでしょうか？

解答では、数学的帰納法を用いて回答していたので、
方針が違く、困っています。

ご教示のほど宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/25 18:34

正解です。

その証明と、数学的帰納法による証明の違いに違和感があるのでしょうか？

実はあなたのシンプルな計算も、こっそり数学的帰納法を使っているのです。
「差の中抜け」の部分を、よく受験参考書にあるような図示で表すと、
それが何をやっているのか証明の構造が見え難くなります。
計算を式で表せば、a(k) = a(k+2) - a(k+1) …② を k=1,2,...,n の範囲でΣして
Σ[k=1..n]a(k) = Σ[k=1..n]a(k+2) - Σ[k=1..n]a(k+1)
= { Σ[k=3..n+1]a(k) + a(n+2) } - { a(2) + Σ[k=3..n+1]a(k) } …③
= a(n+2) - a(2). となります。
途中 Σ[k=3..n+1]a(k) - Σ[k=3..n+1]a(k) = 0 となる部分が「中抜け」です。

この計算のどこに帰納法が隠れているかというと、Σの定義の中にです。
Σの形式的な定義はこうなっています。
Σ[k=m..m]a(k) = a(m),
Σ[k=m..n+1]a(k) = Σ[k=m..n]a(k) + a(n+1).
このため、③の箇所で
Σ[k=3..n+2]a(k) = Σ[k=3..n+1]a(k) + a(n+2) は定義からただちにできますが、
Σ[k=2..n+1]a(k) = a(2) + Σ[k=3..n+1]a(k) のほうは厳密には証明を要するのです。
それを示すとき、Σの定義に沿って帰納法を使うことになります。
通常は「自明」で済ませられる重箱の隅の話ですが。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/25 16:03

正解です。

Σ(i:1→n) a(i)=a(n+2)-a(1)
数学的帰納法で証明する場合
n=1 のとき、
(左辺)=a(1)=1
(右辺)=a(1+2)-a(1)
=a(3)-a(1)
=a(2)+a(1)-a(1)
=a(2)
=1
よって、成立。
ここでも、a(1)=a(2)=1 を利用しています。