er = sin θ cos ϕex + sin θ sin ϕey + cos θ ez
eθ = cos θ cos ϕex + cos θ sin ϕey − sin θ ez
eϕ = − sinϕex + cos ϕey
この三式から、
ex = sin θ cos ϕer + cos θ cos ϕeθ − cos θ eϕ
ey = sin θ sin ϕer + cos θ sin ϕeθ + cos θ eϕ
ez = cos θ er − sin θ eθ
を求める方法を詳しく教えてください、お願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
er = sinθcosϕex + sinθsinϕey + cosθez ①
eθ = cosθcosϕex + cosθsinϕey - sinθez ②
eϕ = -sinϕex + cosϕey ③
①*sinθ + ②*cosθ で ez が消せる。
sinθer + cosθeθ = sin²θcosϕex + sin²θsinϕey + cos²θcosϕex + cos²θsinϕey
= (sin²θ + cos²θ)cosϕex + (sin²θ + cos²θ)sinϕey
= cosϕex + sinϕey ④
③*sinϕ - ④*cosϕ で ey が消せて
sinϕeϕ - sinθcosϕer - cosθcosϕeθ = -sin²ϕex + sinϕcosϕey - cos²ϕex - sinϕcosϕey
= -(cos²ϕ + sin²ϕ)ex
= -ex
項の順番を整理して
ex = sinθcosϕer + cosθcosϕeθ - sinϕeϕ
質問者さんがお書きの式は「eϕ」の係数が間違っているような。
次に、③*cosϕ + ④*sinϕ で ex が消せて
cosϕeϕ + sinθsinϕer + cosθsinϕeθ = -sinϕcosϕex + cos²ϕey + sinϕcosϕex + sin²ϕey
= (cos²ϕ + sin²ϕ)ey
= ey
左辺の項の順番を整理して
ey = sinθsinϕer + cosθsinϕeθ + cosϕeϕ
あとは、①*cosθ - ②*sinθ で ex、ey が消せて
cosθer - sinθeθ = sinθcosθcosϕex + sinθcosθsinϕey + cos²θez - sinθcosθcosϕex - sinθcosθsinϕey + sin²θez
= (cos²θ + sin²θ)ez
= ez
よって
ez = cosθer - sinθeθ
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