三次元直交座標と極座標

er = sin θ cos ϕex + sin θ sin ϕey + cos θ ez
eθ = cos θ cos ϕex + cos θ sin ϕey − sin θ ez
eϕ = − sinϕex + cos ϕey

この三式から、

ex = sin θ cos ϕer + cos θ cos ϕeθ − cos θ eϕ
ey = sin θ sin ϕer + cos θ sin ϕeθ + cos θ eϕ
ez = cos θ er − sin θ eθ

を求める方法を詳しく教えてください、お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/02 23:31

er = sinθcosϕex + sinθsinϕey + cosθez　　　　①

eθ = cosθcosϕex + cosθsinϕey - sinθez　　　　②
eϕ = -sinϕex + cosϕey　　　　　　　　　　　　③

①*sinθ + ②*cosθ　で ez が消せる。
　sinθer + cosθeθ = sin²θcosϕex + sin²θsinϕey + cos²θcosϕex + cos²θsinϕey
　　　　　　　　　= (sin²θ + cos²θ)cosϕex + (sin²θ + cos²θ)sinϕey
　　　　　　　　　= cosϕex + sinϕey　　　　　④

③*sinϕ - ④*cosϕ　で ey が消せて
　sinϕeϕ - sinθcosϕer - cosθcosϕeθ = -sin²ϕex + sinϕcosϕey - cos²ϕex - sinϕcosϕey
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= -(cos²ϕ + sin²ϕ)ex
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= -ex
項の順番を整理して
　ex = sinθcosϕer + cosθcosϕeθ - sinϕeϕ
質問者さんがお書きの式は「eϕ」の係数が間違っているような。

次に、③*cosϕ + ④*sinϕ　で ex が消せて
　cosϕeϕ + sinθsinϕer + cosθsinϕeθ = -sinϕcosϕex + cos²ϕey + sinϕcosϕex + sin²ϕey
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (cos²ϕ + sin²ϕ)ey
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= ey
左辺の項の順番を整理して
　ey = sinθsinϕer + cosθsinϕeθ + cosϕeϕ

あとは、①*cosθ - ②*sinθ　で ex、ey が消せて
　cosθer - sinθeθ = sinθcosθcosϕex + sinθcosθsinϕey + cos²θez - sinθcosθcosϕex - sinθcosθsinϕey + sin²θez
　　　　　　　　　= (cos²θ + sin²θ)ez
　　　　　　　　　= ez
よって
　ez = cosθer - sinθeθ

この回答へのお礼

間違い、気付きませんでした。ありがとうございました。

お礼日時：2020/06/03 11:08

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/02 21:17

詳しくも何も、3つの連立方程式を解くだけだよ。

イメージしにくいなら、
ex=X, ey=Y, ez=Z, er=A, eθ=B, eϕ=C

とでも置いて、A, B, Cの式をX, Y, Zの式に整理すれば良い。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/06/03 11:08