ガウス積分

∫［-∞,∞］e^(-x^2)cos(xy)dxについて教えてください。

ガウスを使うとは思うのですが、よくわかりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/06/10 08:09

f(y)=∫［-∞,∞］e^(-x^2)cos(xy)dxとおく。

f(0)=√πとなる。

yについて微分すると

f'(y)=∫［-∞,∞］-xe^(-x^2)sin(xy)dx

よって部分積分より

f'(y)=-(y/2)∫［-∞,∞］e^(-x^2)cos(xy)dx
f'(y)=-(y/2)f(y)

よってf(y)=Ce^{-(y^2/4)}
f(0)=√πより、C=√π

以上より、この積分の答えは√πe^{-(y^2/4)}となる。

厳密な証明ではなく、説明不足も甚だしいので、以上の回答をそのまま答案に書くと間違いなく０点です。

必要なことは自分で補うこと。(例えば微分と積分の交換など)