ガウスビーム、がウシアンビームの式についてです。以下の問題について教えてください。 位置zでz軸に直

ガウスビーム、がウシアンビームの式についてです。以下の問題について教えてください。
位置zでz軸に直行する平面上における次のガウス分布の積分はzに依存しないことを示せ。ただしAは定数、w0はz＝0,w(z)はz＝zにおけるスポットサイズ、rはz軸からの距離r＝
x^2+y^2です。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/31 17:03

2πrdrのリングで積分すると

　I=∫[0→∞] exp(-2r²/w(z)²) (2πr)dr

　u=2r²/w(z)²
とおくと
　du=4r/w(z)² dr
だから
　I=∫[0→∞] exp(-u)(π/2)w(z)²du
　　=(π/2)w(z)²[-exp(u)][∞,0]
　　=(π/2)w(z)²

したがって、与式の積分は
　A²{w₀²/w(z)²}(π/2)w(z)²=(π/2)A²w₀²