代数学 群の剰余群 指数について

群の剰余群や指数について今勉強していて、持っている参考書にあまり載っていないので、ネットでいろいろ調べていたんですが、
「Ｇが群でＨがその部分群の時、指数[G:H]が２ならＨは正規部分群になる」のが当たり前のように書いてあるのですが、これがわかりません。

正規部分群はxH=Hxが成立することから導くのでしょうか？

説明がつたなくてすいません。教えてください。よろしくおねがいします。

No.3 回答者： graphaffine 回答日時： 2005/01/17 01:44

指数２だから剰余類はH,G-Hの二つだけ。

従って、ｘがHに含まれなければ
ｘH=G-H,Hx=G-HだからｘH=Hx。
ｘがHに含まれれば当然ｘH＝Hx。
よって、正規部分群になる。

No.2 回答者： minardi 回答日時： 2005/01/17 01:44

指数[G:H]が２なら

Hに属すx∈Gについて
xH=H、Hx=H
となることより

またHに属さないx∈Gについて
G=H∪xH　またG=H∪Hx（H∩xH=Ф,H∩Hx=Ф）
となることより

xH=Hxとなるのではないでしょうか。

No.1 回答者： adinat 回答日時： 2005/01/17 01:41

Hを指数2のGの部分群とするなら、もしx∈HならxH=Hになりますし（部分群だから当然ですよね）、Hx=Hでもあります（これも明らか）。

またxがHに入っていなければ、当然xHのどの元もHに属しませんし、同じくHxのどの元もHに属しません。今、Hは指数2の部分群を仮定しているのだから、G=H+xH（あるHに属さないxを用いて）と分解できます。あるいは同じxを用いてG=H+Hxです。このことからxがHに入っていようがいなかろうが、xH=Hxが導かれ、正規部分群になるのです。

指数が3以上の場合は一般にこのようなことは出来ません。