数学Aについて質問なんですが、 下の画像の問題についてで、解答を見ると、仕切り？というのを使っていた

数学Aについて質問なんですが、
下の画像の問題についてで、解答を見ると、仕切り？というのを使っていたり、xyzは自然数という問題のところは、x＝u＋1、x＝v＋1
x＝w＋1と置いていて、何でその考えに至って、そこから答えに繋がるのかが分かりません。
数学に詳しい方いましたら解説して欲しいです。
お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 16:36

「仕切り？」についてですが、これは

受験参考書で定番の解法です。
この問題を解くためにその解法が考えられたというよりは、
その解法が使える例としてこのような問題が参考書に載せられ続けている
という事情が強い。誰のための受験勉強なんですかね？

x + y + z = n を満たす非負整数 x,y,z の組の個数は、
n 個のマーク □ を一列に並べてその間に 2 個の「仕切り」 ■ を挿入し、
■ で区切られた □ の並び 3 個それぞれの □ の個数を x,y,z とする
と考えることで、□ を n 個 ■ を 2 個一列に並べる並べかたの個数と同じ
であることが判ります。■ が列の端にきたり、■ どうし並んでもよいので、
このやりかたで数えられるのは x,y,z が 0 でもよい場合の総数です。

これを使って、(1)は (10+2)C2 = 66 通りです。
(2)を同様のやりかたで数えられるように加工するためには、
質問文にあるように x=u+1, y=v+1, z=w+1 と置き換えればいい。
u + v + w = 7, (u,v,wは非負整数) の解の総数を数えることになるので、
(7+2)C2 = 36 通りになります。
あるいは、10 個のものを X,Y,Z の3人に1人最低1個は配ると考えて、
最初に各人1個づつ配った後、残りの7個を0個も許して配ってもよいでしょう。

いづれにせよ、こんなのを所見で思いつくのはよっぽどの天才だけです。
知ってるか？というだけの問題で、応用範囲もあまりないので、
受験勉強の一端として見たことはある...というだけで十分だと思います。
ほんと、誰得な話です。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/18 14:43

X+Ｙ+Z=10をみたす、０以上の整数の組の例は

(x,y,z)=(0,0,10)や(1,2,7)などです
仮にこの数値（整数）を,x,y,ｚそれぞれがもらえるアメの個数だとでも考えてください
このとき
□（ｘの箱）|□（ｙの箱）|□（ｚの箱）
というように、ｘ、ｙ、ｚがもらうあめ玉「●」を入れておく箱「□」と、仕切り「｜」をイメージします
すると、(0,0,10)というのは
||●●●●●●●●●●　という状態です
仕切りの左がｘの箱（中身のアメ０こ）
仕切りの中央がyの箱（中身のアメ０こ）
仕切りの右がｚの箱（中身のアメ1０こ）
ということを表しています。（ただし、面倒なので箱：□は省略です）

同じ要領で(1,2,7)をあらわすと
●|●●|●●●●●●●
です
・・・仕切りの左がｘの箱（中身のアメ1こ）
仕切りの中央がyの箱（中身のアメ2こ）
仕切りの右がｚの箱（中身のアメ7こ）

当然ながらアメの配り方は、上の二例以外にもあります。
けれども、１０この●と2個の仕切り「|」の位置をかえることでアメの配分の仕方のすべてを網羅することが出来るのです。言い換えると１０＋2=12か所から仕切りを置く場所2か所を任意に選べば、アメの配分の仕方のすべてを網羅することが出来るといえます。
例　12か所のうち左から2番目と3番目の場所に仕切りを置けば（残りの場所には自動的に●を置くことになるので）
●||●●●●●●●●●
となり、これは飴玉をもらう数が(x,y,z)=(1,0,9)という事になる
例②　12か所のうち左から６番目と９番目の場所に仕切りを置けば（残りの場所には自動的に●を置くことになるので）
●●●●●|●●|●●●
となり、これは飴玉をもらう数が(x,y,z)=(5,2,3)という事になる
このように、適当に「｜」の位置を決めれば飴玉の配分が自動的に決まるのです。

この場合異なる12か所から2か所を選んで「｜」を置く方法は12C2＝12x11/2=66通りあるので
飴玉の配分の仕方も,12C2=66通りあることになります。
問題文に立ち戻れば、ここまでに出てきた飴玉の配分、(0,0,10)、(1,2,7),(1,0,9),(5,2,3)などは、
X+Ｙ+Z=10（ｘ、ｙ、ｚはお以上の整数）を満たす、X、Y、Zの組と考えることもできるので
この問題の答えも、飴玉と全く同じ考え方で12C2=66通りです。

次に（２）
（１）との違いはｘ、ｙ、ｚに０が含まれるかどうかです
(2)のｘ、ｙ、ｚは自然数（1以上の整数）ですから、
上に述べた「12か所に、仕切り2個を適当に置く」という方法ではうまくいきません。
というのも、仕切りを適当に置くと　上に登場した例のように
「●||●●●●●●●●●→(x,y,z)=(1,0,9)」
というような、0となる文字が出来てしまう事があるからです
そこで、これを防ぐためにあらかじめｘ、ｙ、ｚに1個ずつ飴玉を配っておきます
そうすれば、仕切りをどのように置いたとしても必ず、ｘ、ｙ、ｚの飴玉は1こ以上（ｘ、ｙ、ｚは自然数）となるからです
3個は最初に配ってしまうので、残りは10-3=7個です
これを、仕切りと●の考え方を使って配分します
飴玉7個と仕切り２こなので、合計９か所から、仕切りを置く2か所を選ぶ　と言う考え方になります
→飴玉9個を（０こもらう文字があっても良いとして）分配する方法は9C2=36通り
この36通りの中には
●●｜●｜●●●●　→(x,y,z)=(2,1,4) や
●●●●｜●●●|　→(x,y,z)=(4,3,0)などが含まれます
あらかじめ配っておいた飴玉も加えれば、
上は●●+●｜●+●｜●●●●+●　→(x,y,z)=(3,2,5)
下は ●●●●+●｜●●●+●|0+●　→(x,y,z)=(5,4,1)　←←←これがあらかじめ1個ずつ飴玉を配っておいた
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　効果！　途中経過では(4,3,0)でz=0であったが
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋１するので
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　z=0(０となる文字）を防ぐことが出来ている。
となり、飴玉の個数をx,y,zの整数（自然数）値と考えれば
(x,y,z)=(3,2,5)や、(x,y,z)=(5,4,1)など
X+Ｙ+Z=10を満たす、自然数X、Y、Zの組が9C2=36通りあると、言い換えることが出来るのです