数学の質問です。 あるA点からボールを投げた時、ボールは放物線をえがいて120mの地点に着地しました

数学の質問です。
あるA点からボールを投げた時、ボールは放物線をえがいて120mの地点に着地しました。ボールが水平に飛んだ距離x（0以上120以下）、高さyとした時、
　　　　　　y＝ax^2＋bx＋cとなります。
ボールが通った座標を（0,0）、（120,0）とした時、
yをaとxを使って表しなさい。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/20 17:30

x=0, y=0とx=120, y=0を代入してみると良い。

cは定数、bはaの整数倍になる。（ヒント）
求めたbとcを元の式に代入すればyをaとxを使って表した式になる。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/20 17:46

x=0の時 y=c=0

x=120の時
y=120^2a+120b=0 →b=-120a

従って

y=ax^2-120ax

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2020/06/20 17:48

与えられた y=ax^2 +bx+c に

これまた与えられた（x,y）=（0,0）と(120,0)
を代入すると
c=0、14400a + 120b + c =0
の2式が得られます。
未知数が3つ（a,b,c）に対して
式が2つしかありませんが、
「yをaとxを使って」とあるので、
「a は残してbとcを消す」方向で
計算を進めます。
すると、b=-120a、c=0
よって、y=ax^2 -120ax
ちなみに、この放物線は
「上に凸（高さy≧0）」であり、
0≦x≦120 なので、a<0になります。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/20 17:56

y = ax^2 + bx + c

を「平方完成」の形にすると

　y = a[x + (b/2a)]^2 - b^2 /(4a) + c
　　= a[x + (b/2a)]^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)　　　　①

ボールが描く放物線は「上に凸」ですから、
　a < 0
ということになります。

このとき、
　x = -b/(2a)
で y は最大値をとります。つまり、ここでボールの高さは最高になります。

そして、放物線の対称性から、この2倍、つまり
　x = -b/a
で、投げ上げた高さと同じ高さを通過します。
地面から投げたのであれば、この距離に着地するということです。

以上から、
　x = -b/a = 120
かつ、投げた地点の高さが y=0 なので
　c = 0
ということになって、①は

　y = a(x - 60)^2 - 3600a
　　= ax^2 - 120ax　　　　　②

ということになります。


まあ、最初から
　y = ax^2 + bx + c
に (0, 0), (120, 0) を代入して
　0 = c
　0 = 14400a + 120b = 0
→　b = -120a
にすればよいのですけどね。

ただし、ここからは
　a < 0
ということは出てきません。
(下に凸の放物線、つまり a>0 であっても放物線の式は書けてしまいますが、それでは「投げ上げ」の式にはなりません）

上の説明は「投げ上げ」を物理的に考えたときの「放物線」を説明しています。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/20 19:13

運動方程式とかは不要で、計算するだけです。

答えが a を残した式になるようにしてあるのは、
表立って重力加速度が登場しないようにするためでしょう。
物理の問題ではない、ということですね。

y ＝ ax^2 + bx + c が (x,y) = (0,0), (120,0) を通るようにせよ
という問題なので、ふたつの (x,y) をそれぞれ代入して
0 ＝ a・0^2 + b・0 + c,
0 ＝ a・120^2 + b・120 + c です。
a,b,c についての連立一次方程式を解くと、
c = 0, b = -120a, a は任意. となります。
これを原式へ代入すれば、
y ＝ ax^2 - 120ax. です。