【4つの集合】 次の問題を解いていただきたいです。 自分でやってみたのですが、4つの集合になっていて

【4つの集合】
次の問題を解いていただきたいです。
自分でやってみたのですが、4つの集合になっていてベン図の使い方がわからずド・モルガンの法則もどのように4つの集合に用いるのかもわからず解けません。
よろしくお願いいたします。

問
50人のクラスで，物理，化学，生物，地学が選択必修で，いずれかの科目を受講しなければならない．ただし，複数の科目を受講することも可能である．物理は40人，化学は34人，生物は25人，地学は20人受講している．また，物理と化学，物理と生物，物理と地学，化学と生物，化学と地学，生物と地学を受講している人はそれぞれ28人，16人，13人，19人，12人および9人であり，物理と化学と生物，物理と化学と地学，物理と生物と地学，化学と生物と地学を受講している人はそれぞれ11人，8人，7人および6人であった．このとき，4科目とも受講している人数を求めよ．

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/26 21:23

2つの集合や3つの集合についてのベン図はときどき見かけますが、4つの集合のベン図をかくのは難しそうです。

そこで、ベン図とともによく使われる和集合の要素の個数を表す式
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
この2つの式を拡張して4つの和集合の要素の個数を表す式を考えます。

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

この式は、n(A)+n(B)からだぶっている部分 n(A∩B) を引くことで n(A∪B) が求まります。

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

この式は、n(A)+n(B)+n(C)から２つの集合のだぶっている部分 n(A∩B)、n(B∩C)、n(C∩A) を引くことでだぶりを解消します。
しかし、３つの集合のだぶっている部分 n(A∩B∩C) については、n(A)+n(B)+n(C)で3回足し、-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)で3回引くので、１つもカウントしていないことになります。
よって、最後に n(A∩B∩C) を加えることで、n(A∪B∪C) が求まります。

４つの集合について同様に考えます。
n(A∪B∪C∪D)=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(A∩D)-n(B∩C)-n(B∩D)-n(C∩D)+n(A∩B∩C)+n(A∩B∩D)+n(A∩C∩D)+n(B∩C∩D)-n(A∩B∩C∩D)

n(A)+n(B)+n(C)+n(D)から2つの集合のだぶっている部分 n(A∩B)、n(A∩C)、n(A∩D)、n(B∩C)、n(B∩D)、n(C∩D) を引くことでだぶりを解消します。
このときに、３つの集合のだぶっている部分、n(A∩B∩C)、n(A∩B∩D)、n(A∩C∩D)、n(B∩C∩D)について考えます。
例えば、n(A∩B∩C)については、n(A)+n(B)+n(C)で3回足し、-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)で3回引くので、１つもカウントしていないことになります。
よって、n(A∩B∩C)を加えます。同様に、n(A∩B∩D)、n(A∩C∩D)、n(B∩C∩D)を加えます。
ここで、4つの集合のだぶっている部分 n(A∩B∩C∩D) については、n(A)+n(B)+n(C)+n(D)で4回足し、-n(A∩B)-n(A∩C)-n(A∩D)-n(B∩C)-n(B∩D)-n(C∩D)で6回引き、
n(A∩B∩C)+n(A∩B∩D)+n(A∩C∩D)+n(B∩C∩D)で4回足しているので、４-６+４＝２で１つだぶっています。
よって、最後に n(A∩B∩C∩D) を引くことで、n(A∪B∪C∪D)
が求まります。

物理，化学，生物，地学の履修者の集合をそれぞれ、A、B、C、Dとします。
n(A)=40 , n(B)=34 , n(C)=25 , n(D)=20
n(A∩B)=28 , n(A∩C)=16 , n(A∩D)=13 , n(B∩C)=19 , n(B∩D)=12 , n(C∩D)=9
n(A∩B∩C)=11 , n(A∩B∩D)=8 , n(A∩C∩D)=7 , n(B∩C∩D)=6
50人のクラスで，物理，化学，生物，地学が選択必修で，いずれかの科目を受講しなければならないので、n(A∪B∪C∪D)=50
下の式にあてはめます。
n(A∪B∪C∪D)=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(A∩D)-n(B∩C)-n(B∩D)-n(C∩D)+n(A∩B∩C)+n(A∩B∩D)+n(A∩C∩D)+n(B∩C∩D)-n(A∩B∩C∩D)
50=40+34+25+20-28-16-13-19-12-9+11+8+7+6-n(A∩B∩C∩D)
n(A∩B∩C∩D)=4
4科目とも受講している人は4人です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/26 04:11

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