至急どなたか教えて下さい 複素関数論の下の命題について質問です。 (命題)正則関数f(z)=u(x,

至急どなたか教えて下さい
複素関数論の下の命題について質問です。

(命題)正則関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)の実部u(x,y)、虚部v(x,y)は、いずれもC^∞級である。
つまり、無限回連続微分可能である。

この証明は、
fが正則関数より、コーシー・リーマンの関係式が成り立ち、かつ無限回微分可能であるからu,vも無限回微分可能となる。
であってますか？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/07 10:55

fが正則関数より,

コーシー・リーマンの関係式が成り立ち,

あるr>0に対して
C={z;|z-z_0|=r}
とすると

定理)
f(z)={1/(2πi)}∫_{C}{f(ζ)/(ζ-z)}dζ
(コーシーの積分表示)が成り立ち

定理)
f(z)のn階微分

f^(n)(z)={n!/(2πi)}∫_{C}{f(ζ)/(ζ-z)^(n+1)}dζ

が成り立つから
無限回微分可能であるから

u,vも無限回微分可能となる