任意にn∈Nを取って、P(n)を示した場合 すべての自然数にたいしてP(n)を示したことになるのはな

任意にn∈Nを取って、P(n)を示した場合

すべての自然数にたいしてP(n)を示したことになるのはなぜですか？

質問者からの補足コメント

• 全射の証明等で、任意に終域の元yを取ってきて、それに対応するは始域の元xがあって、y=f(x)が成立する。といった、証明があります。P(y)⇔[y=f(x)]とする。
  決して、具体的なyを取っているわけではいと思います。例えば、5を取ってきても、その後、動かすことが出来ません。yを固定して、P(y)を示せば、その後、yを動かすことで、任意の終域の元にたいして示したことになります。
  要するに、好き勝手に終域から取った、一般の文字で、P(y)が示せれば、すべてのyについて、P(y)が成立することになります。実際、例えば、y=5,4,6などを代入して成り立つことは直感的に分かります。

    補足日時：2020/07/16 00:58

• 何が言いたいかというと、
  
  固定する　とは数学的に何に相当するか？
  固定していたものを動かしてよいのか？
  動かしても成立するのか？
  
  これらを感覚的にやっているように思えるので、みなさんの意見を聞きたかったのです。

    補足日時：2020/07/16 00:58

No.3 ベストアンサー 回答者： kmee 回答日時： 2020/07/15 20:28

あいまいな表現なので、何を意図しているのかがわかりません。

「任意にn∈Nを取って、P(n)を示した場合」
「すべての自然数にたいしてP(n)を示したことになる」
という日本語では

・任意のn を 選ぶ: 例えばn=5
・P(n)であることを示す: P(5)について示す
→ これにより、全ての n∈Nについて P(n) であることで示せた

と言っているように見えます。
だとすると、これでは「全ての n∈Nについて P(n) であることで示した」ことには**なりません**



数学での表現として
「任意のn∈N について」
「任意のn∈N に対して」
等がありますが、これらは
「どのn∈Nでも同じ」→「全てのn∈Nについて」→「∀n∈N」
となります。



その疑問に思った証明を、繰り返し読み直してみてください。
解釈間違いがあるのでは?
数学的帰納法の一部だけに注目していたりはしてないですか?

No.2 回答者： Alpha15 回答日時： 2020/07/15 16:42

P(1)を示した上で更に

P(n)を仮定してP(n+1)が成り立つことを示すと
「任意にn∈Nに対してP(n)」となります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 14:19

任意の自然数 n について P(n) と

すべての自然数 n について P(n) は、同じことの言い換えだから。