画像の漸化式の問題が分からないので、途中計算も含めら教えて頂けると嬉しいです。 (特に、なぜ(1)の

画像の漸化式の問題が分からないので、途中計算も含めら教えて頂けると嬉しいです。
(特に、なぜ(1)の最初にbn=nanとおくのかが分からないです…。)
(1)の答えはaｎ=1/6n（2n^3-3n^2+12)
(2)の答えはaｎ=3n-1 です。
宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/23 21:36

＞ なぜ(1)の最初にbn=nanとおくのか

漸化式の中で a[ ] が常に k a[k] の形 (kはnかn+1) で登場しており、
b[k] = k a[k] と置くことで式が大幅に簡単になるから。

(2)も同じで、漸化式の両辺を n(n+1) で割ると
式中で a[ ] が常に a[k]/k の形 (kはnかn+1) で登場するようになり、
b[k] = a[k]/k と置くことで式が大幅に簡単になるから。

式中に同じカタマリを見つけることは、漸化式(すなわち差分方程式)に限らず
ほとんどあらゆる方程式で解法の鍵になり得る。

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/23 23:10

階差数列の公式を利用して一般項を求めます。

上手く置き換えをして、 bn+1－ bn =f(n)という形にします。 bn+1－ bn = cn と置けば、
数列{cn}は数列{bn}の階差数列になるので公式を利用して{bn}を求めることができます。
そして、{bn}より{an}を求めます。

（１）は、bn=n an とおけば、bn+1=(n+1) an+1 です。
よって、問題の式は、bn+1－bn=n² となるので、cn= bn+1－bn と置けば、数列{cn}は数列{bn}の階差数列になります。
階差数列の公式を利用します。
n≧2 のとき、
bn=b1+Σ[k:1→n-1] ck

b1=1×a1=1×2=2
cn=n²

bn=2+Σ[k:1→n-1] k²

【Σの公式】
Σ[k:1→n] k²=(1/6)n(n+1)(2n+1)より、
Σ[k:1→n-1] k²=(1/6)(n-1){(n-1)+1}{2(n-1)+1}=(1/6)(n-1)n(2n-1)

bn=2+Σ[k:1→n-1] k²=2+(1/6)(n-1)n(2n-1)
n=1 のとき成り立つことを確認します。

bn より、an を求めます。
bn=n an
2+(1/6)(n-1)n(2n-1)=n an
an=(1/n){2+(1/6)n(n-1)(2n-1)}
=(1/n){12/6+(1/6)n(n-1)(2n-1)}
=(1/6n){12+n(n-1)(2n-1)}
=(1/6n)(2n³-3n²+n+12)

（2）n an+1 - (n+1)an=1
両辺を n(n+1) で割ります。
(n an+1)/n(n+1) - (n+1)an/n(n+1)=1/n(n+1)
( an+1)/(n+1) - an/n=1/n(n+1)

bn=an/n とおけば、bn+1=(an+1)/(n+1) です。
上の式は、bn+1－bn=1/n(n+1) となるので、cn= bn+1－bn と置けば、数列{cn}は数列{bn}の階差数列になります。
b1=a1/1=2/1=2
cn=1/n(n+1)

n≧2 のとき、
bn=b1+Σ[k:1→n-1] ck
=2+Σ[k:1→n-1] 1/k(k+1)
=2+{1/(1・2) + 1/(2・3) + 1/(3・4)+……+1/(n-1)n}
=2+{(1/1 - 1/2)+(1/2 - 1/3)+……+(1/(n-1) - 1/n)}
=2+1- 1/n
=(3n-1)/n
n=1 のとき成り立つことを確認します。

bn より、an を求めます。
bn=an/n
(3n-1)/n=an/n
an=3n-1

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2020/07/23 22:23

なぜそう置くのかが理解できないのか、そう置いてみたのは理解できるが、初見のその手の問題が出たときに、自分でそう置けそうにないということなのか。

2題並べてあるのが親切ですよね。
ａₙ₊₁×ｆ(ｎ＋１)±ａₙ×ｆ(ｎ)＝ｇ(ｎ)
の形に整理して、
ｂₙ＝ａₙ×ｆ(ｎ)、ｂₙ₊₁±ｂₙ＝ｇ(ｎ)
としてやれば良いんだよ、という指導的な問題でしょう。そういうテクニックがあるんですよ、見易くなるんですよ、という。
勿論、あなたがｎａₙのまま解いて解けてしまったって、何の問題もありません、たぶん正解。
ただ、１＋２＋３＋・・・・９７＋９８＋９９＋１００
＝(１＋１００)＋(２＋９９)＋(３＋９８)＋・・・・＋(５０＋５１)
＝１０１×５０
＝
じゃぁ等差数列の和の公式は、なんてのと同じで、物の見方、整理の仕方を変えてやると、こんなことができるんですよ、というのが数列ですよね。
しかも、言われてみれば納得できても、言われなければ思いつかないことも結構あったり。
だから、言われてみればそうですよね、というテクニックも身につけること、しかし、解法やテクニックだけに頼り切るのでは無く(たぶん無理だから)、どんな様子なのか具体例を挙げながら確かめていくなどすること(この問題では不要でしたが)、が大事なんではと思います。
じゃぁ、ｂₙ＝ａₙ×ｆ(ｎ)なんてのが思いつきましたか？思いつかないから質問しているんですよね。
言われてみればなるほどでしょうが。
せめて、賢い人が居るんだなぁと。次に、身につけられそうな小技は身につけること。せっかく２題も指導的に出して貰ったんだから。思いつかなかった、そうか、なるほどな、と痛い目に遭いながら身につけること。痛い目を見ずに最初から暗記してしまおうとは思わないこと。痛い目に遭う、失敗してみる、失敗を繰り返しながら身につけること。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/07/23 21:37

教えて欲しいということだけど、添付されている画像に、解き方も途中計算も全て書いてあるので、何も付け加えることはないよ。

何を教えろというの？

(1)の最初にb[n]=na[n]とおいているのは、単に式を見やすくするだけ（多分、読者向けの親切）。
別に、b[n]なんか持ち出さず、ずっとa[n]のままで解いていっても何の問題もない。