極限の問題です。 n=0なら0に収束してくれるんですけど、nが0以外だとe^x/x^nが左右で極限が

極限の問題です。
n=0なら0に収束してくれるんですけど、nが0以外だとe^x/x^nが左右で極限が変わって値が出ません。どのように変形してもっていけばいいでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/24 02:56

∞ - ∞ 型の不定形だから、通分して約分しなきゃね。

両方の分子のマクローリン展開
e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + ... と
(1-ax)/(1+ax) = 1 - 2ax/(1+ax) = 1 - 2ax{ 1 + (-ax) + (-ax)^2 + (-ax)^3 + ... }
= 1 - 2ax + 2(a^2)x^2 - 2(a^3)x^3 + ... から、

(e^x)/x^n - {(1-ax)/(1+ax)}/x^n = {(e^x) - (1-ax)/(1+ax)}/x^n
= { 0 + (1+2a)x + (1/2 - 2a^2)x^2 + (1/6 + 2a^3)x^3 + ... }/x^n.

a ≠ -1/2 の場合は、分子が 1 次項から始まるから、
x^1 で約分して考えれば n-1 ≧ 1 のとき 与式は発散する。
n = 1 のときは 与式 = 1+2a,
n = 0 のときは 与式 = 0.

a = 1/2 の場合は、1/2 - 2a^2 = 0, 1/6 + 2a^3 ≠ 0 で
分子が 3 次項から始まるから、
x^3 で約分して考えれば n-3 ≧ 1 のとき 与式は発散する。
n = 3 のときは 与式 = 1/6 + 2a^3,
n < 3 のときは 与式 = 0.