この問題が分からないので解説してもらえると嬉しいです 「∠C＝90°の直角二等辺三角形ABCで,∠B

この問題が分からないので解説してもらえると嬉しいです
「∠C＝90°の直角二等辺三角形ABCで,∠Bの二等分線と辺ACとの交点をDとします。
このとき,BC＋CD＝ABであることを説明しなさい。」

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/01 13:58

直角二等辺三角形ABCの辺の長さの比は、ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝√２：１：１

二等分線の性質からＣＤ：ＡＤ＝1：√２、ＡＤ＝√２＊ＣＤ、ＡＤ＋ＣＤ＝１から√２ＣＤ＝(1-CD)
CD=1/(1+√２)
よって、ＢＣ＋ＣＤ＝１＋1/(1+√２)＝（２＋√２)/(1+√２)=√２=AB

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/07/31 23:15

BCの延長線上にCD=CEになる点Eをつくる。

ただし点EはBCEの順になる点。
△BCDと△ACEにおいて
仮定より、BC=AC　　　①
仮定より、CD=CE　　　②
仮定より、∠BCD=∠ACD=90°　　　③
①②③より2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△BCD≡△ACE
よって、∠DBC=∠EAC
仮定より∠ABC=45°と DBが∠ABCの二等分線より
∠DBC=∠EAC=∠ABC/2=45°/2=22.5°

△BAEにおいて
∠BAE=∠BAC+∠EAC=45°+ 22.5°=67.5°　　　④
△BAEの内角の和は180°から
∠ABE+∠BAE+∠BEA=180°
45°+ 67.5°+∠BEA=180°
∠BEA=180°- 45°- 67.5°=67.5°　　　⑤
④⑤より△BAEは2つの底角の等しい三角形なので二等辺三角形
よって、AB=BE　　　⑥
BE=BC+CE　　　⑦
②⑦より
BE=BC+CD　　　⑧
⑥⑧より
AB=BC+CD

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/07/31 23:04

三角形の内角の2等分線が対辺と交わった場合に、その対辺をどのような比率で分割するか、を知っているとすぐに解けます。

CA=CB=aとすると、AB=√2a

BDは∠Bの2等分線だから、CD:DA=BC:BAである。
よって、CD:DA=a:√2a=1:√2

すると、CD=1･CA/(1+√2)=a/(1+√2)だから、BC+CD=a+{a/(1+√2)}=a{1+1/(1+√2)} 　※

ここで、1+1/(1+√2)=1+(1-√2)/(1+√2)(1-√2)=1+(1-√2)/(1-2)=1+(-1+√2)=√2だから、
※より、BC+CD=√2a

一方、AB=√2aだから、題意は示された。