f(x)=log(1+3x)の2次導関数とf(x)=e^xsinxの2次導関数の求め方を2つ教えてく

f(x)=log(1+3x)の2次導関数とf(x)=e^xsinxの2次導関数の求め方を2つ教えてください！

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/12 16:52

微分したらいいんでしょ？

f(x) = log(1+3x),
f’(x) = { log(1+3x) }’ = { 1/(1+3x) }・(1+3x)’ = { 1/(1+3x) }・3 = 3/(1+3x),
f’’(x) = { 3/(1+3x) }’ = 3{ -1/(1+3x)^2 }・(1+3x)’ = 3{ -1/(1+3x)^2 }・3 = -9/(1+3x)^2.

g(x) = (e^x)(sin x),
g’(x) = { (e^x)(sin x) }’ = (e^x)’ (sin x) + (e^x) (sin x)’ = (e^x)(sin x) + (e^x)(cos x) = (e^x)(sin x + cos x),
g’’(x) = { (e^x)(sin x + cos x) }’ = (e^x)’ (sin x + cos x) + (e^x) (sin x + cos x)’ = (e^x)(sin x + cos x) + (e^x)(cos x - sin x) = 2(e^x)(cos x).

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/12 16:48

No.1 です。

ああ「2次」か。

(1) は
　df/dx = 3/(1 + 3x)
をもう一度 x で微分するのに、再度 y=1 + 3x とおいて
　df/dx = 3/y
より
　d(df/dx)/dy = -3/y^2
　dy/dx = 3
なので

　d²f/dx² = [d(df/dx)/dy](dy/dx) = (-3/y^2)･3 = -9/(1 + 3x)^2

(2) も同じように、「関数の関数」の微分をもう1回やって

　f''(x) = (e^x)'･[sin(x) + cos(x)] + e^x･[sin(x) + cos(x)]'
　　　= e^x･[sin(x) + cos(x)] + e^x･[cos(x) - sin(x)]
　　　= 2e^x･cos(x)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/12 16:34

(1) これは「置換微分」あるいは「関数の関数の微分」を使います。

f(x) = log(1 + 3x)

で y = 1 + 3x とおけば
　f(y) = log(y)

そうすれば
　df/dy = 1/y

になります。
でも、求めたいのは
　df/dx
です。
このとき
　df/dx = (df/dy)(dy/dx)
なのです。「分数」ではないのですが、まるで「分数」のかけ算ですね。
y = 1 + 3x なので
　dy/dx = 3
です。

ということで
　df/dx = (df/dy)(dy/dx) = (1/y)･3 = 3/(1 + 3x)

(2) これは「関数の積」の微分を使います。
つまり
　f(x) = g(x)･h(x)
のとき
　f'(x) = g'(x)･h(x) + g(x)･h'(x)
です。

これを
　g(x) = e^x
　h(x) = sin(x)
にすれば
　f'(x) = (e^x)'･sin(x) + e^x･(sin(x))'
　　　= e^x･sin(x) + e^x･cos(x)
　　　= e^x･[sin(x) + cos(x)]

この回答へのお礼

ありがとうございます！
よく分かりました！

お礼日時：2020/08/12 16:41