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偏微分の問題です。
つぎの関数の極値を求めよ。
z=sin x+sin y+sin(x+y) ただし0≦x,y<2π
解説していただけると幸いです。

教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

0≦x,y<2π


z=sinx+siny+sin(x+y)
z_x=cosx+cos(x+y)=0
z_y=cosy+cos(x+y)=0
z_xx=-sinx-sin(x+y)
z_xy=-sin(x+y)
z_yy=-siny-sin(x+y)

(z_xx)(z_yy)-(z_xy)^2
={sinx+sin(x+y)}{siny+sin(x+y)}-{sin(x+y)}^2
=sinxsiny+{sinx+siny}sin(x+y)

cos(x+y/2)cos(y/2)=0
cos(y+x/2)cos(x/2)=0
0≦y/2<π
0≦x/2<π
0≦x+y/2<3π
0≦y+x/2<3π
{(y=π)|(2x+y=π)|(2x+y=3π)|(2x+y=5π)}&
{(x=π)|(2y+x=π)|(2y+x=3π)|(2y+x=5π)}

(x=y=π)の時
(z_xx)(z_yy)-(z_xy)^2=0極値ではない

(2x+y=π)&(2y+x=π)の時x=y=π/3
(x=y=π/3)の時
z_xx=-sin(π/3)-sin(2π/3)=-√3<0
z_xy=-sin(2π/3)=-√3/2
z_yy=-sin(π/3)-sin(2π/3)=-√3
(z_xx)(z_yy)-(z_xy)^2=3-(3/4)=9/4>0
極大値
z=sin(π/3)+sin(π/3)+sin(2π/3)=3√3/2

(2x+y=5π)&(2y+x=5π)の時x=y=5π/3
(x=y=5π/3)の時
z_xx=-sin(5π/3)-sin(10π/3)=√3>0
z_xy=-sin(10π/3)=√3/2
z_yy=-sin(5π/3)-sin(10π/3)=√3
(z_xx)(z_yy)-(z_xy)^2=3-(3/4)=9/4>0
極小値
z=sin(5π/3)+sin(5π/3)+sin(10π/3)=-3√3/2
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