(sin x)^3/(cos x)^9 の積分は何を置換すれば良いのでしょうか。

(sin x)^3/(cos x)^9 の積分は何を置換すれば良いのでしょうか。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 08:22

u = sin x と置いて

∫{ (sin x)^3/(cos x)^9 }dx = ∫{ (sin x)^3/(cos x)^10 }(cos x)dx = ∫{ u^3/(1 - u^2)^5 }du
とするのと、
t = cos x と置いて
∫{ (sin x)^3/(cos x)^9 }dx = ∫{ - (sin x)^2/(cos x)^9 }(- sin x)dx = ∫{ (1 - t^2)/t^9 }dt
とするのと、
どっちが好き？
v = tan(x/2) でもできるけれども。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/21 07:38

(sin x)^3/(cos x)^9

=(sin x)(sin x)^2/(cos x)^9
=(sin x)(1 - (cos x)^2)/(cos x)^9

t=cos xとすると、
dt/dx=-sin x

∫ (sin x)^3/(cos x)^9 dx
=-∫ (1 - t^2)/t^9 dt
=-∫ 1/t^9 - 1/t^7 dt
=(1/8)(1/t^8) - (1/6)(1/t^6) + C
=(1/8)(1/(cos x)^8) - (1/6)(1/(cos x)^6) + C

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 07:05

sinx = t とでも置く・・!

∫{sin³x/cos⁹x}dx = -1/(24cos⁶x) + sin²x/(8cos⁸x) + C　　(C:積分常数)

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2020/08/21 06:34

cosx = t とでも置く・・!

∫{sin³x/cos⁹x}dx = -1/(6cos⁶x) + 1/(8cos⁸x) + C　　(C:積分常数)