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No.4ベストアンサー
- 回答日時:
集合Aの濃度を#Aとかきます。
Latex打ちだと#がそのまま使えないので。。#I≧#Jというのは全射I→J(単射J→I)が存在するという意味ですね。
回答にある濃度の積は直積集合の濃度です。
以上を踏まえると
\[\sharp J\leq\sum_{i\in I}\sharp J(i)\leq\sharp I\cdot\max\{\sharp J(i)\mid i\in I\}\leq\sharp I\cdot\aleph_0=\sharp I.\]
の意味を追うことは難しくない。
No.3
- 回答日時:
体上のベクトル空間Vの基底の濃度が一意的であることの証明くらい教科書に書いてあると思うんですが。
。$S=\{s_i\}_{i\in I}, T=\{t_j\}_{j\in J}$
として $\sharp I\geq \sharp J$ を示せばよい。(逆も同様だから)
$s_i$ を $T$ の元の線形結合で表したときに使用される元の添え字からなる $J$ の有限部分集合を $J(i)$ とすると、
\[J=\bigcup_{i\in I}J(i).\]
濃度の計算に関する知識から
\[\sharp J\leq\sum_{i\in I}\sharp J(i)\leq\sharp I\cdot\max\{\sharp J(i)\mid i\in I\}\leq\sharp I\cdot\aleph_0=\sharp I.\]
($\aleph_0$ は無限可算濃度のこと)
この回答へのお礼
お礼日時:2020/10/18 18:29
回答ありがとうございました。たしかに教科書にあるのですが、読んでもよくわかりませんでした。お力を貸してい頂きありがとうございます。ところで\sharpという記号を調べたら#が出てきたのですが、どういう意味で用いてますか?
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