2のべき乗と5について

「2のべき乗は5の倍数にならない」というのは正しいでしょうか？
正しい場合、どのようにしてそれが証明されるかについても教えていただければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/20 21:11

2 のべき乗 2^n (nは自然数) を 5 で割った余りは、

2^(2k) = (2^2)^k = 4^k ≡ (-1)^k ≡ 1, -1　(mod 5),
2^(2k+1) = 2(2^2)^k = 2・4^k ≡ 2(-1)^k ≡ 2, -2　(mod 5).
n の偶奇に関わらず、2^n は ≡0 (mod 5) にはならない。

この回答へのお礼

高校数学の教科書を手繰ってようやく理解できました。
整数論の合同式は、まさにこういう疑問に答えてくれるものなんですね。
素朴な疑問に丁寧に回答いただき、ありがとうございます。

お礼日時：2020/10/20 23:44

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/10/20 21:13

間違いです。

累乗なら正解です。

累乗は、2^1、2^2　…　2^100　…　と、2の指数部が自然数のものを累乗といいます。これは倍数にならないです。

これに対してべき乗は、自然数以外のものに拡張されたものなので、
その値を如何に求めるかは、別の問題として、2のべき乗　y=2^x　(という指数関数)　が、5の倍数を取るxの値は存在します。
指数関数のグラフは連続しており、y=2^x　のグラフは、yが5の倍数の値をとおりx軸方向に指数関数的に増大していきます。

この回答へのお礼

なるほど、累乗とべき乗の違いについては、完全に私の無学故表記を誤りました。質問したかったのは「2の累乗は5の倍数になるか」でした。
指数が自然数以外に拡張されれば可能である、というのは感覚的にはわかる気がします。機会を見つけて自分で詳しく調べてみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/10/20 21:27