座標の設定について とある数学の問題でxy直交座標系が設定されているとします。そして、問題を解くため

座標の設定について

とある数学の問題でxy直交座標系が設定されているとします。そして、問題を解くために複素平面を用いた処理をしたくなるとします。(現行課程では、行列を習わないので、回転などを行列を用いてやる方法をしりません。)このとき、以下の表記をして複素平面を設定しても語弊はないでしょうか。

「以下、直交座標系における座標(x,y)と、複素平面上の点 x+iy が対応するような複素平面を設定する。」

自分的にはこれでいかなる点も複素平面上の点と対応付けられていて問題ないように思うのですが、いかんせん知識が無いもので、間違っている気がします。

私の習っている予備校講師が複素平面をどのように定義するかも述べず、座標(x,y)とx+yiを同一視して回転などを行っているため、お手本がありません。(さすがにこれは誤りだと思っています。)

よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/11 16:06

> 私の習っている予備校講師が複素平面をどのように定義するかも述べず

ってことは、「複素平面」の定義がまだない状態、という文脈でしょう。

> 「以下、直交座標系における座標(x,y)と、複素平面上の点 x+iy が対応するような複素平面を設定する。」

　これでは「複素平面をどのように定義するか」を述べたことになっていない。また、「設定」しようとする「複素平面」が一体何者なのかを指定するために「複素平面上の点」を引き合いに出しているんだから、堂々巡りに陥っている。さらにまた、「設定」って何だよ？という余計な問題まで発生させちゃってる。

　直交座標系を決めたユークリッド平面における座標(x,y)を複素数 x+iy と対応させたとき、この平面を「複素平面」と呼ぶ。この対応が全単射（1：1対応）になるのは明らか。ただし、これだけでは「複素平面」なんかただの名称であって、何の使い途もない。
　「複素平面」という概念が意味を持つのは、（ご承知の通り）「複素数の演算を使った議論の結論が、（複素数とは直接関係ない）平面の幾何学に関する問題の答を与える」ということ、および「平面の幾何学的操作を使った議論の結論が、（平面の幾何学とは直接関係ない）複素数に関する問題の答を与える」ということが保証できるから。
　さて、これらを保証するには、「平面のベクトルのスカラー倍や和や内積や回転やなんやかやと、複素数のどういう演算とが対応するのか」を示して証明しないとね。その証明は簡単だけれども、「複素平面」という概念が意味を持つためには、飛ばせない。

この回答へのお礼

なるほど…ありがとうございます。
ダメなようですね。
複素平面の定義がまだ無い文脈…というのはよく分からないのですが、いままで複素平面を扱わずに直交座標(x,y)で処理してきたものを、急に「(x+yi)(cosθ＋isinθ)＝〜」のように複素数を持ち出してくるという文脈です。

直交座標系での処理に複素数を用いるときには、その対応付をしなきゃいけないと思ってましたが、しなくて良いのですか？(すみません、ご回答をちゃんと理解出来ていないかもしれません。)

下の回答者様のように(「xy直交座標をガウス平面とみなし、xy直交座標の座標値(x,y)をガウス平面の複素数x+yiに対応させることとする」)書くのでは十分ですか？

お礼日時：2020/11/11 16:55

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/11 20:33

No.4へのコメントについてです。

> 今、大学受験の答案に限った話をすることとします。

　なーんだ。ならば、通例としては「私の習っている予備校講師」さんのやり方で十分だとするでしょうが、念を押すなら「ユークリッド平面における直交座標(x,y)を複素数 x+iy と対応させた複素平面（ガウス平面）で考える」とだけ言っておけば足りる。そうすれば、
　1. 「(x,y)に((x+y)-3ix)を対応させる」のような、普通でない対応づけではない。
　2. 複素平面（ガウス平面）とは、単なる点と複素数の対応づけだけじゃなくて、演算の対応づけも含んだ概念。これら全体を利用する。
ということがはっきりするからです。

この回答へのお礼

分かりました。
ありがとうございます。
将来的に数学をちゃんとやりたいので、その時は回答者さんのようにちゃんと理解して使えるようになりたいです。

お礼日時：2020/11/11 20:58

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/11 17:58

No.3へのコメントについてです。

> 複素平面の定義がまだ無い文脈…というのはよく分からない

「複素平面とは何か」という定義をまだやってない状態、ってことです。

> (「xy直交座標をガウス平面とみなし、xy直交座標の座標値(x,y)をガウス平面の複素数x+yiに対応させることとする」)書くのでは十分ですか？

　ダメですね。まず、「ガウス平面の複素数x+yiに対応させる」では堂々巡りですよ。（「ガウス平面」って、「複素平面」のことですから。）
　対応については、No.3に書いた通り、単に「直交座標系を決めたユークリッド平面における座標(x,y)を複素数 x+iy と対応させ」るだけです。「みなす」だなんて何だか分からない話は関係ありません。

　で、ここからが肝心なポイント。ただ点を対応させただけじゃ何の意味もない、ということをNo.3で申し上げました。繰り返しますが：
　(x,y)に(x+iy)を対応させると（もちろん、(x,y)に((x+y)-3ix)を対応させるんでもよくて、そこは勝手に決めればいいんですが、ともかく一つ）決めたとして、さてその対応のもとで「どういう演算同士がどう対応しているか」ということを示さなくちゃ、何もできません。

　これらを示すこと全部をやるのが、「複素平面とはどういうことか」を論じる、ということです。先にこれをキチンと論じていないのに「複素平面」の概念を使うのは、メチャクチャです。

この回答へのお礼

今、大学受験の答案に限った話をすることとします。
回答者様の仰ることはわかりました。
しかし、時間が限られる受験においては演算の定義まではさすがにできないです。
そこで、折衷案として、対応付のみを書くのはどうでしょうか。（回答者様の言う「直交座標系を決めたユークリッド平面における座標(x,y)を複素数x＋yiト対応させる」というものです。）

それでは意味が通らないのでしょうか。

複素数での演算と直交座標系での演算の対応を仮に定義するとすれば、行列式を用いるのでしょうか(もしそうであれば、行列式を知らないのでできないのです。)

お礼日時：2020/11/11 18:09

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/11 11:56

xy直交座標をガウス平面とみなし、

xy直交座標の座標値(x, y) を
ガウス平面の複素数 x + yi に対応させることとする。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
完結でわかりやすい表記です

お礼日時：2020/11/11 16:56

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2020/11/11 10:27

駄目ですね。

点 (x + i y) を回転中心として、座標系を回転させてみましょう。
座標 (x, y) と座標 (x, i y) は一致したまま、２つの座標の原点がズレていきます。

２つの座標系の
① 原点が一致している。
② x 軸の向きが一致している。

③-1 y 軸の向きが一致している。
あるいは
③-2 座標系の左手系か右手系かという定義が一致している。

という３条件が必要ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「任意のx,yにたいして、直交座標系の(x,y)と複素平面上の点x+iyが一致するような複素平面を設定する。」ではどうでしょうか

これで、①原点(0,0)と複素平面上の0が一致
② これも一致
③y軸の向きも虚軸の向きと同じ

どうでしょう

お礼日時：2020/11/11 10:32