複素解析の問題です。 一次分数関数w=f(z)はz=3をw=-5に移し、単位円を単位円に移すとする。

複素解析の問題です。

一次分数関数w=f(z)はz=3をw=-5に移し、単位円を単位円に移すとする。このとき、z=1/3の像を求めよ。

この問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• -5と書かれています。

    補足日時：2020/11/13 18:23

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2020/11/15 11:40

ある代数署によると単位円を単位円に移す一次分数関数w=f(z)は

f(z)＝(αｚ-β)/(β*ｚ-α*)　ただしα*、β*はα、βの共役複素数
の形になる。
これにz=3w=-5をいれて両辺の共役をとれば
f(1/3)＝-1/5　と出る。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/15 09:00

式いじってるよりイメージの方が面白いと思んで、

「B/(z+A) + C で単位円を単位円に写し、実軸上の点a (a<0)を【実軸上のどこか(>0)】に写す」
を絵にしてみました。（3ではなくaにしたのは、絵があまりごちゃごちゃし内容に。ただし、イーカゲンに描いたので正確ではない。）

以下、添付の絵の番号に沿って説明しますと：
[1] 単位円、および、実軸上の点aと原点Oを結ぶ線分を黒で示す。これを【テキトー】に平行移動 z+A したのが青。（すると、以下で見るように、A以外のパラメータを【テキトー】に選ぶことはできない。）

[2] 次に、「単位円に対する反転」をする。極座標で表せば (r,θ) ⇔ (1/r,θ）という変換であり、
　　原点を通る直線 ⇔ 原点を通る直線
　　原点を通る円 ⇔ 直線
　　円 ⇔ 円
を互いに写す。だから反転 1/(z+A)* によって
● 青の円は緑の円に写る。（絵では、単位円と青の円がタマタマ交点を持つんで、緑の円もそれらの交点を通る。）
● 点aと原点Oを結ぶ線分は、赤の破線で示す円（元の実軸全体の像）の一部分である円弧（緑）に写る。もちろん、Oの像は緑の円の中心にはない。

[3] 緑の図形を上下反転 (1/(z+A)*)* (=1/(z+A)）する。緑の破線は、緑の円の中心とaの像とを結ぶ線分。
　さらにこれを、原点を中心にして回転 exp(i arg(B))/(z+A) したのが紫。点aの像を最終的に【実軸上のどこか(>0)】に写したいので、それが紫の円の中心から見て真右（紫の破線が水平）になるように回す必要がある。

[4] 紫の図形を、原点を中心にして拡大 |B|exp(i arg(B))/(z+A) （= B/(z+A)）して、円の半径が丁度1になるようにしたのが青。（このとき青の円は、[2]の青の円を、原点の周りに回転したものに一致している。）
　さらにこれを平行移動 B/(z+A)+C して、単位円に重ねたのが赤。a点が実軸上の点bに写った。このとき、元の実軸（aとOを通る直線）は、赤の破線の円に写っている。
　ヒントになりましたかしらん。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/14 22:19

漠然としか考えてないんですが、回答つかないようなので。

「一次分数関数」が (az + b)/(cz + d) のことなら、これは
　　f(z) = B/(z+A) + C
と変形できる、ってことは、これをガウス平面上の幾何で言うなら、zを
(1) Aだけ平行移動して、
(2) 単位円に対する反転をし、実軸に対して鏡像にし、
(3) 原点を中心に |B|倍に拡大し、arg(B)だけ回転し、
(4) Cだけ平行移動する。
という写像です。
　で、(2)だけやる（B=1, A=C=0）というの以外で「単位円を単位円に写す」って、できるかしらん。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/13 18:21

w=-1/5とかじゃなくて？