曲線の長さを求める問題です。 曲線を積分に定義するとおもうのですが、あまり理解できませんでした。もし

曲線の長さを求める問題です。
曲線を積分に定義するとおもうのですが、あまり理解できませんでした。もしよろしければ解答、解説をおねがいします。
y＝1/2a(e^(ax)+e^(−ax)) (0≦x≦1)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/03 09:38

どんな曲線なのですか？

No.2 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/03 11:43

dy/dx=(e^(ax)-e^(-ax)/2を

∫[0,1]√{1+(dy/dx)^2}dx に代入し
∫[0,1]{e^(ax)+e^(-ax)}dx ={e^a-e^(-a)}/2a
となります。途中の計算はご自分で補ってください。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/03 13:44

No.1 です。

ああ、そこに書いてありましたね。ボケてました。

x ～ x + Δx の小区間をとれば、その区間での y の増分を Δy とすれば
　Δy ≒ (dy/dx)Δx
で、その区間での曲線の長さは「三平方の定理」から
　ΔL = √{(Δx)^2 + (Δy)^2} = √{(Δx)^2 + [(dy/dx)Δx]^2 }
　　= Δx√{1 + (dy/dx)^2 }
です。曲線の長さは、この ΔL を全区間の Δx で足し合わせればよいです。

そして、この Δx を無限に小さくして足し合わせたものが「積分」ですから、全体の曲線の長さは
　L = ∫[0→1]√{1 + (dy/dx)^2 }dx　　　①
ということになります。

あとは実際に dy/dx 求めて、①の式に入れるだけ。

y = [1/(2a)][e^(ax) + e^(−ax)]　　 (0≦x≦1)

だとすると
　dy/dx = (1/2)[e^(ax) - e^(-ax)]
なので
　(dy/dx)^2 = (1/4)[e^(2ax) - 2 + e^(-2ax)]
　　　　　　= (1/4)[e^(2ax) + e^(-2ax)] - 1/2

①に代入して
　L = ∫[0→1]√{1 + (1/4)[e^(2ax) + e^(-2ax)] - 1/2 }dx
　　= (1/2)∫[0→1]√[e^(2ax) + e^(-2ax) + 2]dx
　　= (1/2)(3/2)[[e^(2ax) + e^(-2ax) + 2]^(3/2) * (2ae^(2ax) - 2ae^(-2ax)][0→1]
　　= (3/4){[e^(2a) + e^(-2a) + 2]^(3/2) * (2ae^(2a) - 2ae^(-2a)] - 0 }
　　= (3a/2)[e^(2a) + e^(-2a) + 2]^(3/2) * (e^(2a) - e^(-2a)]

計算間違いがあるかも。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/03 15:55

> y＝1/2a(e^(ax)+e^(−ax))

ってのは曖昧な書き方だが、もしかして
　　y = (1/(2a)) (e^(ax)+e^(−ax))
　　　= (e^(ax)+e^(−ax))/(2a)
　　　= (1/a) cosh(ax)
ってことじゃないですかね。で、 (a≠0)という条件付き。

　パラメータsで表される平面曲線 (x(s), y(s))の s0≦s≦s1の間の道のりの長さLは
　　L = |∫{s∈S} √((dx/ds)^2 + (dy/ds)^2) ds |
ですね。パラメータを
　　s = x
と選ぶと
　　y = (1/a) cosh(as)
　　dx/ds = 1
　　dy/ds = (1/a) (d/ds)cosh(as) = sinh(as)
なので
　　L = |∫{0≦s≦1}√(1 + (sinh(as))^2) ds |
さて、
　　1 + (sinh(as))^2 = (cosh(as))^2
　　∀a∀s ( cosh(as) > 0 )
だから
　　L = |∫{0≦s≦1} cosh(as) ds| = |sinh(a)/a|
そして、
　　∀a( a≠0 ⇒ sinh(a)/a＞0)
なので
　　L = sinh(a)/a = ( (e^a) - (e^(-a)) )/(2a)

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。

お礼日時：2020/12/04 00:02