3-√2の連分数展開を教えて下さい。

√2や√3などの単体のものの連分数展開はできるのですが、3-√2のように多項式のものが解けません。教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/14 08:36

3-√2 は、整数係数２次方程式の解になってますよね？

x = 3-√2 のとき、x^2 - 6x + 7 = 0 です。 この式を
x^2 - 6x = -7
x(x - 6) = -7
x = 7/(6 - x)
と変形すると、最後の式が連分数展開に見えてきませんか？
x を繰り返し代入して、
x = 7/(6 - 7/(6 - 7/(6 - 7/ ......

No.4 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/14 06:59

記述ミスではありませんでした。

No.3 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/14 04:57

「逆数aを用いて」の記述ミスでした。

No.2 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/14 04:52

3-√2=1+(2-√2)

=1+2/(2+√2)
=1+ 1/(1+1/√2)
=1+1/(1+1/(1+(√2-1)))
=1+1/(1+1/(1+1/(√2+1)))
=1+1/(1+1/(1+1/(2+(√2-1)))
=1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(√2+1))))
=1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+(√2-1)))))
=1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+1/(√2+1)))))
=--- 以下続く
のように展開します。
ポイントは、
3-√2=(整数部分)+(小数部分)の形にし、(小数部分)の逆数をaを用いて
(小数部分)=1/a になおし、さらに
a=(整数部分)+(小数部分)の形にします。これを繰り返していけば良い。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/13 23:28

ポイントは

　　(n ± √m) = (n^2 + m) / (n ∓ √m)
を使う、ということだけだろうな。