e^(x^2+y^2)dxdy D:1≦x^2+y^2≦4 0≦y この重積分の計算を教えてください

e^(x^2+y^2)dxdy

D:1≦x^2+y^2≦4 0≦y
この重積分の計算を教えてください！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/18 14:43

あれ? この質問、ちょっと前に答えたばかり...

また、削除＆再投稿か。 多いですね。
こんなにすぐ再投稿できるくらい掲示板を見ているのなら、
前の回答を見といてくれればいいのに。

x = r cosθ, y = r sinθ で置換積分すると、
D： 1≦r≦2, 0≦θ≦π より
∬[D] e^(x^2+y^2) dxdy = ∬[D] e^(r^2) rdrdθ
= ∬[1≦r≦2, 0≦θ≦π] e^(r^2) rdrdθ
= ∫[0≦θ≦π] ∫[1≦r≦2] e^(r^2) r dr dθ
= { ∫[1≦r≦2] e^(r^2) r dr }{ ∫[0≦θ≦π] dθ }
= { ∫[1≦s≦4] e^s (1/2)ds }{ ∫[0≦θ≦π] dθ }　； s=r^2
= { (1/2)e^4 - (1/2)e^1 }{ π - 0 }
= π(e^4 - e)/2.