高校数学 背理法

tan4°が無理数であることを、背理法を使って証明してください！できるだけ詳しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/28 13:25

加法定理により

tan60°=tan(64-4)=(tan64-tan4)/(1+tan64・tan4)…①
tan60=√3は無理数だから①右辺は無理数
ところで、倍角公式利用で
tan64=tan(2・32)=2tan32/(1-tan²32)…②
tan32=tan(2・16)=2tan16/(1-tan²16)…③
tan16=tan(2・8)=2tan8/(1-tan²8)…4
tan8=tan(2・4)=2tan4/(1-tan²4)だが…⑤
ここで、tan4°は有理数であると仮定すると
有理数ｘ有理数＝有理数
有理数/有理数＝有理数　だから
⑤右辺＝(有理数ｘ有理数)/(有理数-有理数²)＝有理数なので
連鎖的に４、➂、②とたどってtan64は有理数となる
このとき①右辺は　
(有理数-有理数)/(有理数+有理数x有理数)＝有理数となり
本来①右辺が無理数であることに矛盾
その原因は　tan4°は有理数であると仮定したことにあり
正しくはtan4°は無理数である　ということになります
（流れはこんな感じなんで自分なりに正式な答案に仕上げてください）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/28 20:01

tan の加法定理により、

tan60° = tan(15×4°) = tan(16×4° - 4°)
　　　= { tan(16×4°) - tan4° }/{ 1 + tan(16×4°) tan4° },
tan(16×4°) = { 2 tan(8×4°) }/{ 1 - tan(8×4°) ^2 },
tan(8×4°) = { 2 tan(4×4°) }/{ 1 - tan(4×4°) ^2 },
tan(4×4°) = { 2 tan(2×4°) }/{ 1 - tan(2×4°) ^2 },
tan(2×4°) = { 2 tan4° }/{ 1 - tan4° ^2 }.

tan4° = t と置いてこれらの式を整理すると、
√3 = (t の分数式) という形になる。　←[＊]
右辺の具体的な式形は敢えて計算するまでもない。

t が有理数だと仮定すると [＊] の右辺は有理数の値を持つことになり、
左辺が無理数であることに矛盾する。よって背理法により...

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2020/12/28 12:54

どこが解らないんですか？

どこが？