等号の用法について

Question

等号（イコール）の用法にはどのようなものがありますか？数学の分野を中心とします。
※説明のために、注目しているイコールを:=で表すことにします。

用法Ａ【等しい、同値関係】（例）1+1 := 2　※恒等式　※方程式もコレ？
用法Ｂ【定義】（例）n := 2 のとき　n+10 = 2+10 = 12　（例）Σ_{k:=1}^{n}(k)
（例）3Z := { 3n  ｜ n ∊ Z  }　※3の倍数の集合を3Zの記号で定義する。
用法Ｃ【代入】（例）（プログラミング言語等で）i := i+1
用法Ｄ【形式的な拡張】（例）lim_{n → ∞} (a_{n})  := ∞　※発散、値が∞に等しいという意味ではない

など考えてみました。その他の使用の方法を教えてください。また，用法Ａ～用法Ｄについても間違いもあるかと思います。いろいろと自分でも区別が曖昧なところがあります。とくに用法Ｂと用法Ｃは曖昧です。用法Bに書いた，n:=2は定義でしょうか、代入でしょうか。また、連立方程式などの計算で「x::=3をx+y:::=5に代入して…」の::=と:::=のイコールは意味が違うと思います。

finalbento · Accepted Answer

「初学者は(お礼コメントの)①と②の＝は『違うもの』と認識するはずだ」とありますが、私は小学1年生で初めて＝の記号に触れてからこれまでずっと「全部同じ用法」と思って来ました。プログラミングで用いる

P=P+1

と言った表記を見た時には面食らいましたが、数学の記号としては初学者であれば「用法は全部同じ(もちろん意味も同じ)」と考えるのではと思います。「＝の用法が異なる」と考えるのはむしろ数学に精通して等式のニュアンスの違いが見えて来た人のような気がします。

stomachman · Answer

No.8へのコメント

>  Gの第５引数bと、処理中のnがどこからくるのか、興味があります。

についてです。確かに。バグってますね。
　define G(x,s,t,p,b,r) as
じゃなくて
　define G(x,s,t,p,n,r) as

stomachman · Answer

No.2です。
> 用法Ｃ【代入】（例）（プログラミング言語等で）i := i+1

というところ、もうちょっと深掘りしておく必要があるかもです。

「代入」と言ってもassignmentとsubstitutionがある。両者をはっきり区別する必要がある。プログラミング言語においてassignmentとは「値を割り当てる」、substitutionとは「置き換える」ということ。

いくつかの言語では、assignment命令を等号と区別するために”:=“という記号を使う。
　　t := n
というのは「式nの値を計算し、得られた値を、tに割り当てる(assignする)」という一連の動作をさせる命令である。（C言語でassignment命令を”=“で表すのは、数学の意味での”=“ではない。）

一方、substitutionは「数学の意味での代入」に他ならない。substitutionが数学において本質的に現れるのは、「関数f(x)を定義しておいて、”f(<何かの式>)”と書く」という表記においてである。（だから “=“はsubstitutionの要点ではない。）substitutionを実装したプログラミング言語もある。たとえば
define G(x,s,t,p,b,r) as {
　　 t := n; 
　　 while (p) {
　　　　 s := s + x; t := r 
　　}
}
はほとんど無意味なプログラムに見える。しかし G(a[t-1]*b[t-1],s,t,t>0,n-1,t-1) を「substituion」（プログラミングの用語で言えば call by name）と解釈すると
{
　　 t := n; 
　　 while (t>0) {
　　　　 s := s + a[t-1]*b[t-1]; t := t-1
　　}
}
ということなのだから、配列a,bの内積Σ{k=0～n-1} a[k]b[k] の値がsに得られるプログラムになる。
　上記の G(x,s,t,p,b,r) の定義はsubstitutionの他に、”:=“だの”;”だの”while”だのを含んでいるが、実はsubstitutionはそれ単独で「計算メカニズム」として機能する。substitutionだけで計算をやる計算システムが「λ calculus」。このシステムは「十分に強力」、すなわち万能Turing Machineが記述できる。つまり、何らかの言語で書いた何らかのプログラムで計算できるものなら、どんなものでも、これだけで計算できる。（実は、上記のG(x,s,t,p,b,r)も、引数を適切に与えさえすればどんな計算でもできる。）この引数機構はALGOL60（とその直系子孫）のデフォルトであり、関数型言語（多くのLISP実装系やHaskelなど）の基本的文法に組み込まれている。あまりにも強力な計算メカニズムなので、ソースコードを読んでも「何をするプログラムなのか」が理解しきれないことがしばしばある。
　多くのよく使われるプログラミング言語では、substituionは一見して「ヤッテルな」とわかる。C言語でこれに近いことをやるには、p, x, rなどを「ポインタで指される関数の呼び出し」で置き換えて、引数として「関数へのポインタ」の値を渡す（call by value）か、assignmentする、という書き方をする必要がある。Javaならt, x, rなどを抽象クラスのmethodの呼び出しに置き換える。一方、よほどの大仕掛けをしないとsubstituionができないプログラミング言語も多い。

finalbento · Answer

逆に「用法が違う」と考えるから難しく感じるのでは? シンプルに「同じ記号だから用法も同じ」と考えていいのではと思います。実際お礼コメントにあった①と②は初学者の気持ちになったとしても「用法が異なっている」とは思えません。

finalbento · Answer

あまり深く考えなくてもいいのでは? プログラミングの方は分かりませんが、少なくとも数学の記号としては「右辺と左辺が等しい事を表す」と言う認識で問題ないと思います。

stomachman · Answer

No.3 < 
そんな気もしたのだが、しかしそれだと{ x｜f(x)+g(x)=0}と{ f｜f(x)+g(x)=0}の区別が付かんのではないか？

ありものがたり · Answer

つまらないツッコミ：
方程式は f(x)=0 が {x｜f(x)=0} の省略なのではなく、
方程式はあくまで f(x)=0 そのもので、
方程式の「解が」 {x｜f(x)=0} なのだと思う。

stomachman · Answer

> 用法Ａ【等しい、同値関係】（例）1+1 := 2
これが基本。

> 　※恒等式　※方程式もコレ？
恒等式は
　　∀x(f(x) = 0)
という命題の省略形。
　方程式は
　　{x｜f(x) = 0}
という集合の省略形です。

> 用法Ｂ【定義】（例）n := 2 のとき　n+10 = 2+10 = 12
　　∀n(n=2 ⇒ n+10 = 12)
という命題です。"="の意味は用法Ａと同じ。
　等号を使った定義は、「∀n(n=2 ⇒ P(n))を、以下では省略形でP(n)と書きます」と言ってるだけです。

> 用法Ｃ【代入】（例）（プログラミング言語等で）i := i+1
これは代入操作であって等号ではない。
　しかしプログラムの検証(verification)を行う際には論理式を作るのに等号を使いたいんで、それぞれの変数の時系列的変化を関数 i(t) などで表す必要がある。例えば
　i(1) = i(0) + 1
という風に。（こちらは等号なので、「∴ i(1) - i(0) = 1 」とできる。）

> 用法Ｄ【形式的な拡張】（例）lim_{n → ∞} (a_{n}) := ∞
なるほど仰る通りで、この場合には "= ∞"という2文字で一つの記号（「lim fは存在しない」を「lim f=∞」と表す）だと思う必要がありますね。

finalbento · Answer

用法Bを「定義」と言うのは違う気がします。ちなみに定義を表わす記号は「≡」です。

(小学校では合同を表す記号として出て来たと思いますが、定義にも使います)

等号の用法について

「初学者は(お礼コメントの)①と②の＝は『違うもの』と認識するはずだ」とありますが、私は小学1年生で初めて＝の記号に触れてからこれまでずっと「全部同じ用法」と思って来ました。

No.8へのコメント

No.2です。

逆に「用法が違う」と考えるから難しく感じるのでは? シンプルに「同じ記号だから用法も同じ」と考えていいのではと思います。

あまり深く考えなくてもいいのでは? プログラミングの方は分かりませんが、少なくとも数学の記号としては「右辺と左辺が等しい事を表す」と言う認識で問題ないと思います。

No.3 <

つまらないツッコミ：

> 用法Ａ【等しい、同値関係】（例）1+1 := 2

用法Bを「定義」と言うのは違う気がします。

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