三角形の問題です。 △ABCと点Pに対して、3ベクトルAP +5ベクトルBP +4ベクトルCP＝ベク

三角形の問題です。



△ABCと点Pに対して、3ベクトルAP +5ベクトルBP +4ベクトルCP＝ベクトル0が成り立つ。
⑴2直線AP、BCの交点を Qとするとき、AP:AQを求めよ
⑵△PBC△PCA△PABの面積の比を求めよ。

解答、解説お願いします。

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2021/01/10 15:09

ベクトル記号 →　を省略

(1)
Aを始点にして考えて

3AP+5BP+4CP=0 より
3AP+5(AP-AB)+4(AP-AC)=0
12AP=5AB+4AC
AP=(5AB+4AC)/12
　=(9/12)･(5AB+4AC)/9　　　（ ←　式変形を工夫）
　=(3/4)･(5AB+4AC)/9

ここで
AQ=(5AB+4AC)/9
とおくと
点Ｑは、線分BCを 4：5 の比に内分する点になり
AP=(3/4)AQ
これから
AP：AQ=3：4

(2)
３つの三角形の面積を△ABCで表す

△PBC=(PQ/AQ)△ABC=(1/4)△ABC
△PCA=(AP/AQ)△AQC=(3/4)△AQC=(3/4)･(5/9)△ABC
　　　=(5/12)△ABC
△PCA=(AP/AQ)△ABQ=(3/4)△ABQ=(3/4)･(4/9)△ABC
　　　=(1/3)△ABC

これより
△PBC：△PCA：△PAB
=(1/4)△ABC：(5/12)△ABC：(1/3)△ABC
=3/12：5/12：4/12
=3：5：4