密度が一様で、質量M、半径aの円板について、円板の接線を軸とする時の慣性モーメントを求めるやり方を教

密度が一様で、質量M、半径aの円板について、円板の接線を軸とする時の慣性モーメントを求めるやり方を教えてください。答えは5/4(M a^2)になります。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/11 13:30

平行軸の定理利用です

まず円をｘｙ平面に置いて中心と原点を一致させておく
直径（ｙ軸）をじくとするときの慣性モーメントを求める
密度を求めると
M/(πa²)
次に　円全体を幅が極めて細い　y軸に平行な帯状に分けていく
そのなかの1つの帯に着目
その幅をdx ,微小質量をdmとすると
dm={M/(πa²)}2y・dx
だから
y軸周りの慣性モーメント：Ix=∫x²dm
={2M/(πa²)}∫x²ydx
で、三平方の定理から　x²+y²=a²なんで
Ix={2M/(πa²)}∫x²√(a²-x²)dx
そしたら置換積分
x=asinθとおくと
dx=acosθdθ
Ix={2M/(πa²)}∫a⁴sin²θcos²θdθ　（積分区間-π/2～π/2)
={2M/(πa²)}a⁴∫{(1/2)sin2θ}²dθ
={Ma²/(2π)}∫(1-cos4θ)/2dθ
=(1/4)Ma²

次に平行軸の定理から円盤重心を通るy軸に平行な軸の周りの慣性モーメントIhは
Ih=Ix+Mh²（ただし　hは軸間の距離）なので
h=aを代入で
Ih=(1/4)Ma²+Ma²=(5/4)Ma²

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/11 16:21

いろいろな形状の物体の慣性モーメントは、一生に一度は #1 さんのような「微小体積」に分けて、それを「質点」とみなした慣性モーメントから「必要な体積に積分する」ことで求めてみる必要がありますが、一度やって「求め方」が納得できれば、あとは下記のような「便覧」を利用すればよいです。

↓　いろいろな物体の慣性モーメント
http://hooktail.sub.jp/mechanics/inertiaTable1/

さらに、今回の質問のような、回転軸を「重心を通る軸」から平行移動する場合には「平行軸の定理」を使えばよいです。
これも、一生に一度は自分で「導出」してみて、あとは「定理」として活用すればよいです。

上の一覧表から「円板」の「平面上の、重心を通る回転軸」周りの慣性モーメント
　Ig = (1/4)Ma^2
に対して、軸を a だけ平行移動するので
　I ＝ Ig + Ma^2 = (5/4)Ma^2
と求まります。