二次関数の最大・最小の問題で 頂点が点(2.1)で，点(4.3)を通る二次関数がある。 この関数の定

二次関数の最大・最小の問題で

頂点が点(2.1)で，点(4.3)を通る二次関数がある。
この関数の定義域を0≦x≦kとするとき，次の各区間における最大値と最小値を求めよ。
(1)0<k<2 (2)2≦k<4 (3)4<k

という問題なのですが
y＝1/2(x−2)²+1がでたのですが

最大値最小値求めるのがいまいちわかりません…。

(1)0<k<2 だとしたら
xに代入すると、x＝0のとき 最大値3,
ここで最小値はなぜ2をxに代入しないのですか？

(2)2≦k<4も
なぜ、2と4をxに代入せず0と2を代入なのですか？

分からなすぎて解答を見ながらやってみてるのですが
全くわかりません…。

ちなみに、<と≦の違いも教えていただけるとありがたいです！

よろしくお願い致します！

質問者からの補足コメント

• (1)の最小値で
  x＝kを代入すると
  1/2k²−2k+5と出るのですが
  どうしたら1/2k²−2k+3になるのですか？
  
  追加で質問すみません><

    補足日時：2021/02/07 19:22

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/07 14:01

x の範囲が 0≦x≦k なので、これは「下端が 0 と決まっていて、上端が k の値によって変わる」ということです。

x の範囲の上端がどうなるかによって、最大・最小の場所が変わりますよね？
それを切り分けて考えているのです。

＞(1)0<k<2 だとしたら
＞xに代入すると、x＝0のとき 最大値3,
＞ここで最小値はなぜ2をxに代入しないのですか？

x の範囲に頂点を含まないので、x の範囲の端点が最大・最小になります。
x の範囲が頂点（軸）よりも「左側（x の小さい側）」なので、放物線の「単調減少」の範囲だとわかるので
・x の範囲の下端で最大
・x の範囲の上端で最大
になることが一番上の図か分かりますよね。

＞(2)2≦k<4も
＞なぜ、2と4をxに代入せず0と2を代入なのですか？

これは x の範囲に頂点を含むことが分かっているので、最小値は頂点です。
x の範囲が放物線の「左側」に偏っているので、x=0 のときのほうが x=k のときよりも大きくなると分かっているからです。
2番目の図からわかりますよね。


3つ目は、 x の範囲に頂点を含み、かつ x の範囲が放物線の「右側」に偏っているので、x=k のときのほうが x=0 のときよりも大きくなると分かります。
3番目の図からわかりますよね。

そういう「x の範囲」と「最大・最小」の関係を、図から大まかに判断するという考え方を理解しましょう。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/07 14:10

(1)0<k<2 だとしたら,定義域の右端はどうなりますか？

初心のうちは、これをグラフ上で考えるのです
定義域は0≦x≦kとあるので
kの値に限らず定義の右端はkです（いうまでもなく左端は0)
だから　グラフを書いて　x=0より左側の部分は消す
x=kの位置は適当に決めてそこよりは右側にある部分は消してみてください
残った部分のグラフが、0≦x≦kの定義域にみあったグラフです

で、0<k<2だとしたらkに当てはめてよい数字が0から2未満です
これに当てはまる数字を適当に選んでk=0.5としてみれば
0≦x≦0.5ですから　定義域の右端（グラフの右端)は0.5ですし
k=1にしてみれば　右端はx=k=1です
なんで、kに当てはまらないk=3などは対象外
これに伴って　グラフの右端がx=3などになることもないという事なんのです
右端として可能なのはx=kまで
ｋにあてはまりうる数字は0.0000001～1.999999999まで
なんで先ほどの要領で該当しない部分（定義域でない部分）を消すことにすると、0<k<2では頂点が消えてしまうのです
頂点が消えて残った部分で最小値を判断ですが　
0<k<2を満たすような数字ならkをどんなものにしても
消し残ったグラフのもっとも低い部分は右端になりますから
最小値を取るのは右端=x=kとなるのです

(2)も同じこと
先ほどと同じ要領でグラフの右端を判断して、該当範囲外は消してみてください
模範解答のようになることが分かるはず



最後に
<　は、～より大きい小さい
≦　は、以上、以下という意味ですですよね！
k<2ならば　kは2よりは小さい⇔2はkより大きい（kが２となることはない）
なんで、0<k<2なら　定義域の右端kは0より大きい（つまりグラフの右端は０より大きい、０より右）
しかしながら　定義域の右端kは2よりは小さい
（つまりグラフの右端は2より小さい、２より左）
ということになります

一方　もし0<k≦2ならば
右端が0より右であることに変わりはありませんが
k≦2はkが2より小さい　もしくはkは2に等しい
という意味なんで
右端は2に等しくなる可能性も出てきます
よってこの場合なら
グラフの右端は0よりは右　２よりは左　ただし右端が2とピッタリ重なることも許される
となりますよ

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/07 17:13

＞ (1)0<k<2 だとしたら

＞ xに代入すると、x＝0のとき 最大値3,
＞ ここで最小値はなぜ2をxに代入しないのですか？

0<k<2 だとしたら、
0≦x≦k の範囲に x=2 は含まれないから。

＞ (2)2≦k<4も
＞ なぜ、2と4をxに代入せず0と2を代入なのですか？

2≦k<4 の際も、
0≦x≦k の範囲に x=4 は含まれないから。
x=2 は含まれるし、そのとき実際 y は最小値となっている。

この疑問の持ち方は、おそらく x と k の区別がついていない。
関数 y の定義域は 0≦x≦k であって、最大値最小値は
この範囲で x を動かしたときの最大最小を考えている。
(1)(2)(3) は定義域の端点 k で場合分けしているだけで、
最大最小を考えるときには k は定数であって、動かさない。

写真の図の赤で塗られた範囲を x が動くときの
最大最小の話をしているのだ.ということを理解しよう。
そのための図だし、あれがこの解答の全てだ。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/07 19:36

＞ (1)の最小値で

＞ x＝kを代入すると
＞ 1/2k²−2k+5と出るのですが
＞ どうしたら1/2k²−2k+3になるのですか？

写真で上の図を見ると判るように、
(1)0<k<2 の場合には
x=0 のときが 0≦x≦k における y の最大値、
x=k のときが 0≦x≦k における y の最小値です。

だから、最小値を求めるために x=k を代入するのですが、
y=(1/2)(x-2)²+1 に x=k を代入すれば y=(1/2)(k-2)²+1 です。
計算すると、 y = (1/2)(k-2)²+1 = (1/2)(k²-4k+4)+1
= (1/2)k²-2k+2+1 = (1/2)k²-2k+3 ですね。
解らなかったのは、この計算の部分ですか？

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/07 20:04

No.1 です。

「補足」について。

＞(1)の最小値で
x＝kを代入すると
1/2k²−2k+5と出るのですが
どうしたら1/2k²−2k+3になるのですか？

y = (1/2)(x - 2)^2 + 1
ですから、x=k を代入すれば

y = (1/2)(k - 2)^2 + 1
　= (1/2)(k^2 - 4k + 4) + 1　　　←①
　= (1/2)k^2 - 2k + 2 + 1　　　←②
　= (1/2)k^2 - 2k + 3

ですね。
最後が「+5」になるのは、どこかで計算間違いをしているのでは？
①から②にするときに、ちゃんと「4」に「1/2」をかけていますか？

この回答へのお礼

できました！ありがとうございます！

お礼日時：2021/02/08 21:13

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/07 20:06

1/2k²−2k+5と出るのですが

>>>
単なる計算ミスだと思います
x=k代入で
(1/2)(k-2)²=(1/2)(k²-4k+4)
⇔右辺は(1/2)を分配法則で
(1/2)(k-2)²=(1/2)k²-2k+2
このことから（両辺に+1をした格好になっている2次関数のyは）
y=(1/2)(k-2)²+1={(1/2)k²-2k+2}+1=(1/2)k²-2k+3

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/08 12:56

もしかして、（xの範囲を示す）「定義域」、（kの範囲を示す）「区間」という言葉に振り回されちゃっているのでは？ だとすると、（ご質問の問題と解説はちょっと脇に置いて）以下の問題をそれぞれ一つずつお考えになれば、どれもお出来になるんじゃなかろうか。

(1) 区間0≦x≦1におけるy＝(1/2)(x−2)²+1 の最大値と最小値を求む。
(2) 区間0≦x≦kにおけるy＝(1/2)(x−2)²+1 の最大値と最小値を求む。ただし0<k<2であるとする。
(3) 区間0≦x≦3におけるy＝(1/2)(x−2)²+1 の最大値と最小値を求む。
(4) 区間0≦x≦kにおけるy＝(1/2)(x−2)²+1 の最大値と最小値を求む。ただし2≦k<4であるとする。
(5) 区間0≦x≦5におけるy＝(1/2)(x−2)²+1 の最大値と最小値を求む。
(6) 区間0≦x≦kにおけるy＝(1/2)(x−2)²+1 の最大値と最小値を求む。ただし4<kであるとする。
(7) 区間0≦x≦kにおけるy＝(1/2)(x−2)²+1 の最大値と最小値を求む。

(2)(4)(6)はご質問の問題を言い換えただけのもの。
また(7)は、場合分けも自分でやりなさい、という問題です。