数学II 積分

問題:
f(x)＝x²+ax+bとする。任意の一次関数g(x)に対して、常に∫{0→1}f(x)g(x)dx＝0が成り立つ時、定数a.bの値を求めよ。
全然わかりません！助け求めます！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/16 18:34

g(x) は一次関数なので

　g(x) = px + q （p, q : 定数）
とすれば

f(x)g(x) = (x^2 + ax + b)(px + q)
= px^3 + (ap + q)x^2 + (aq + bp)x + bq

ですから
　∫[0→1]f(x)g(x)dx = ∫[0→1]{px^3 + (ap + q)x^2 + (aq + bp)x + bq}dx
= [(p/4)x^4 + (1/3)(ap + q)x^3 + (1/2)(aq + bp)x^2 + bqx][0→1]
= (p/4) + (1/3)(ap + q) + (1/2)(aq + bp) + bq
= 0

ということです。
これを p, q で整理して
　(1/4 + a/3 + b/2)p + (1/3 + a/2 + b)q = 0
これが、任意の p, q に対して恒等的に成り立つためには
　1/4 + a/3 + b/2 = 0　　　①
　1/3 + a/2 + b = 0　　　　②

①より 4a + 6b = -3
②より 3a + 6b = -2
よって
　a = -1
　b = 1/6

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/16 18:16

本当に「全然わからない」なら

・最初から改めて勉強する
・あきらめる
の二択じゃないのかなぁ.

さておき, 「任意の一次関数 g(x)」に対して定積分 ∫{0→1}f(x)g(x)dx を計算して, それが常に 0 になるという条件から a, b を求めればいいのです.... 何にも言い換えてないけど.