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次の解析学の問題がわからないので教えて頂きたいです。

k>0
関数f(x)が区間[0,∞)で連続であるとき、f(x)が区間[k,∞)で一様連続であるならば、f(x)は[0,∞)で一様連続であることを示せ。

よろしくお願いします。
大学数学 解析学

A 回答 (3件)

0≦a≦k


fは[k,∞)で一様連続だから
任意のε>0に対して
あるδ1>0が存在し
|x-y|<δ1となる任意のx≧k,y≧kに対して
|f(x)-f(y)|<ε…(1)

fは[0,∞)で連続だから
ε/2に対して
あるδ_a>0が存在し
|x-a|<δ_aとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε/2…(2)
となる
B(a,(δ_a)/2)={x;|x-a|<(δ_a)/2}
とすると
[0,k]⊂∪_{0≦a≦k}B(a,(δ_a)/2)
だから
{B(a,(δ_a)/2)}_{0≦a≦k}
はコンパクト集合[0,k]の開被覆だから
有限開被覆
[0,k]⊂∪_{j=1~n}B(a_j,(δ_a_j)/2)
が存在する
δ=min{min_{j=1~n}(δ_a_j)/2,δ1/2}
とすると
|x-y|<δとなる任意のx≦yに対して
0≦x≦kのとき
x∈[0,k]⊂∪_{j=1~n}B(a_j,(δ_a_j)/2)
だから
|x-a_j|<(δ_a_j)/2
となるjがある
|y-a_j|≦|y-x|+|x-a_j|<δ+(δ_a_j)/2≦(δ_a_j)/2+(δ_a_j)/2=δ_a_j
だから
|x-a_j|<δ_a_j,|y-a_j|<δ_a_j
だから(2)から
|f(x)-f(a_j)|<ε/2,|f(y)-f(a_j)|<ε/2
だから
|f(x)-f(y)|≦|f(x)-f(a_j)|+|f(y)-f(a_j)|<ε

x≧kのときk≦x≦yだから(1)から
|f(x)-f(y)|<ε

任意のε>0に対して
δ=min{min_{j=1~n}(δ_a_j)/2,δ1/2}が存在し
|x-y|<δとなる任意のx≦yに対して
|f(x)-f(y)|<ε
だから
一様連続
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この回答へのお礼

お早い回答ありがとうございました!

お礼日時:2022/11/18 19:16

https://shakayami-math.hatenablog.com/entry/2018 …
↑これでも読んでね。

有界閉区間上では連続と一様連続は同値なので、
[0,k]で連続な関数は一様連続。
[k,∞)でも一様連続であるならば、[0,∞)でも一様連続になる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます、じっくり読ませていただきます!

お礼日時:2022/11/18 19:17

閉区間で連続な関数はその区間で一様連続という定理があるから


f(x)が[0,k]で一様連続
これと
[k,∞)で一様連続とからでてきます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます〜

お礼日時:2022/11/18 19:17

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