次の解析学の問題がわからないので教えて頂きたいです。 k>0 関数f(x)が区間［0,∞)で連続であ

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質問者：Maxxxxxx7
質問日時：2022/11/17 20:52
回答数：3件

次の解析学の問題がわからないので教えて頂きたいです。

k>0
関数f(x)が区間［0,∞)で連続であるとき、f(x)が区間［k,∞)で一様連続であるならば、f(x)は［0,∞)で一様連続であることを示せ。

よろしくお願いします。
大学数学　解析学

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： mtrajcp
回答日時：2022/11/18 16:38

0≦a≦k

fは[k,∞)で一様連続だから
任意のε>0に対して
あるδ1>0が存在し
|x-y|<δ1となる任意のx≧k,y≧kに対して
|f(x)-f(y)|<ε…(1)

fは[0,∞)で連続だから
ε/2に対して
あるδ_a>0が存在し
|x-a|<δ_aとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε/2…(2)
となる
B(a,(δ_a)/2)={x;|x-a|<(δ_a)/2}
とすると
[0,k]⊂∪_{0≦a≦k}B(a,(δ_a)/2)
だから
{B(a,(δ_a)/2)}_{0≦a≦k}
はコンパクト集合[0,k]の開被覆だから
有限開被覆
[0,k]⊂∪_{j=1～n}B(a_j,(δ_a_j)/2)
が存在する
δ=min{min_{j=1～n}(δ_a_j)/2,δ1/2}
とすると
|x-y|<δとなる任意のx≦yに対して
0≦x≦kのとき
x∈[0,k]⊂∪_{j=1～n}B(a_j,(δ_a_j)/2)
だから
|x-a_j|<(δ_a_j)/2
となるjがある
|y-a_j|≦|y-x|+|x-a_j|<δ+(δ_a_j)/2≦(δ_a_j)/2+(δ_a_j)/2=δ_a_j
だから
|x-a_j|<δ_a_j,|y-a_j|<δ_a_j
だから(2)から
|f(x)-f(a_j)|<ε/2,|f(y)-f(a_j)|<ε/2
だから
|f(x)-f(y)|≦|f(x)-f(a_j)|+|f(y)-f(a_j)|<ε

x≧kのときk≦x≦yだから(1)から
|f(x)-f(y)|<ε

任意のε>0に対して
δ=min{min_{j=1～n}(δ_a_j)/2,δ1/2}が存在し
|x-y|<δとなる任意のx≦yに対して
|f(x)-f(y)|<ε
だから
一様連続