G＝ ［x］を位数sの巡回群とする。 このとき、sの任意な約数t＞0に対し、Gは位数tの部分群である

G＝ ［x］を位数sの巡回群とする。
このとき、sの任意な約数t＞0に対し、Gは位数tの部分群であることについて証明します。

この証明過程で、本に、「H＝［t^(s/t)］が位数tの部分群であることは明らか。」と書かれていたのですが、どうしてこうなるのでしょうか？

説明して頂けると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/18 20:15

H=[t^(s/t)]

になりません

H=[x^(s/t)]
です

t>0はsの約数だから
d=(s/t)は整数だから
s=td だから
sはG=[x]の位数だから
x^s=1だから
x^(td)=x^s=1
H=[x^(s/t)]=[x^d]={x^d,x^(2d),x^(3d),…,x^(td)=1}
は
位数tの巡回群になる