ルジャンドルの定理について。

ルジャンドルの定理を証明していただけないでしょうか？無限個ある。という証明です。ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

質問者からの補足コメント

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  https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/956が問題で、
  https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/988が（i)の証明です。
  これで、無限個の説明が足りないと言われたのですが、どう証明すれば良いのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

    補足日時：2021/02/26 18:21

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/28 21:19

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

は
左辺の項目が無限個あるという意味ではありません

あるrが存在して
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる
時に

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

と定義するのです
だから

数列
a_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]
が
r
に収束する事を証明しなければ

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

と書いてはいけないのです

s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
[n/p^k]=0
だから

r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
とすると

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m>sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

この回答へのお礼

（i)の証明をもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/28 21:27

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/01 05:56

(i)の証明

s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m>sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)