なぜn=-1以外は全部0になるのでしょうか？ ローラン展開の公式を使い説明して頂けないでしょうか？

なぜn=-1以外は全部0になるのでしょうか？
ローラン展開の公式を使い説明して頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• どうもありがとうこざいます。
  なぜ画像のように導けるかわかりません。

  
    補足日時：2021/02/28 17:43

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/28 17:48

(e^z)^n=e^(nz)

(zw)^n=(z^n)(w^n)
と
z=r , w=e^(iθ)
でわかりませんか?

この回答へのお礼

理解できます。
z-aがre^iθとの事ですが、
(z-a)^nに代入して、(re^iθ)^nと画像の(r^n)e^(inθ)は同じものなのでしょうか？
だとしたら、どうやって(re^iθ)^nから(r^n)e^(inθ)の形にしたのでしょうか？

お礼日時：2021/02/28 17:57

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/28 18:02

無理・・・・・

この回答へのお礼

すいません。そこをなんとか教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2021/02/28 18:08

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/28 16:40

間違えました。

　z=re^iθ → z-a=re^iθ(rは定数)・・・・①
でした。

>Cは点aを中心とした円の円周上の点を表すのでしょうか？<
●そうです。そのように取ります。何故かというと、コーシー
　の定理から、点aを含む閉曲線ならどれをとっても積分は同じ
　になるから、一番簡単に積分できるものを取っただけです。

>z=re^iθをdzで微分して dz/dθ=ire^iθとなり、dz=ire^iθ×dθとしたのですね。<
●ちびっと違います。zをθで微分しました。このようにCを取る
　とzはθのみの関数となります。

>ただ、dz=ire^iθ×dθの式と∮(z-a)^ndzと何か関係はあるのでしょうか？また、どうやって∮(z-a)^ndzからr^n×e^logθir e^iθdθと展開したのでしょうか？
<
●(z-a)^n → (r^n)e^(inθ) となることはわかりますでしょうか?
これと、dz=ire^iθ×dθを使えば
　　∮(z-a)^ndz=∮ (r^n×e^(inθ) ire^(iθ)dθ
となることは理解できますか?

>その後のn≠-1の時に0になる展開までもわたしの数学力がないこともあり、少しわからないところがあります。<
●そこは単なる積分なので、わからないならお手上げです。
　もう少し詳しい指摘があると返答できるかもしれません。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/28 07:40

>ローラン展開の公式を使い説明して頂けないでしょうか？<

●意味不明ですが。

Cを点aを中心に半径r>0 の円とする。
すると、角度θを使って、Cは z=rexp(iθ)と表される。
すると、dz=irexp(iθ)dθ

n≠-1 とすると
∮(z-a)ⁿdz=∫[0→2π] rⁿexp(inθ)irexp(iθ)dθ
=irⁿ⁺¹∫[0→2π] exp(i(n+1)θ)dθ
={irⁿ⁺¹/i(n+1)} [ exp(i(n+1)θ) ] [2π,0]
={rⁿ⁺¹/(n+1)} [ 1-1 ]=0

n=-1 のとき
∮(z-a)ⁿdz=∫[0→2π] (1/r)exp(-iθ)irexp(iθ)dθ
=i∫[0→2π] dθ=2πi

この回答へのお礼

ありがとうこざいます。
Cは点aを中心とした円の円周上の点を表すのでしょうか？
z=re^iθをdzで微分して
dz/dθ=ire^iθとなり、dz=ire^iθ×dθとしたのですね。
ただ、dz=ire^iθ×dθの式と∮(z-a)^ndzと何か関係はあるのでしょうか？
また、どうやって∮(z-a)^ndzからr^n×e^logθir e^iθdθと展開したのでしょうか？
その後のn≠-1の時に0になる展開までもわたしの数学力がないこともあり、少しわからないところがあります。
どうかもう少しわかりやすい数式で書いて頂けないでしょうか？

お礼日時：2021/02/28 16:13