二次曲線と直線 双曲線 x^2/16-y^2/4=1と直線 y=2x+k がある。 (1)共有点を持

二次曲線と直線

双曲線 x^2/16-y^2/4=1と直線 y=2x+k がある。 (1)共有点を持たないためのkの条件を求めよ。 (2)接する時のkの値と接点の座標を求めよ。 (3)異なる二つの共有点A,Bを持ち、AとBの、それぞれのx座標の差が8/15となるときのkの値は？ これらを教えて頂けないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/24 08:04

(1)

x²/16 - y²/4=1・・・①
y=2x+k・・・②

②を①に代入して整理すると、
15x²+16kx+4k²+16=0・・・③
共有点を持たない条件は、判別式 D/4<0
D/4=(8k)² - 15(4k²+16)
=4k² - 240・・・⓸

よって、
4k²- 240<0
-2√15 < k < 2√15

(2) 接するときは、判別式 D/4=0
⓸より、
4k² - 240=0
k=±2√15

接点のｘ座標は③において、解の公式より
x= {-8k±√(D/4)}/15
=±(16√15)/15

②に代入
x=(16√15)/15 のとき（k= -2√15 のとき）
y=2{(16√15)/15} - 2√15=(2√15)/15

x= - (16√15)/15 のとき（k=2√15 のとき）
y=2{-(16√15)/15} + 2√15= -(2√15)/15

したがって、接点の座標は、
k=2√15 のとき、( - (16√15)/15 , - (2√15)/15)
k=-2√15 のとき、( (16√15)/15 , (2√15)/15)

(3) 判別式 D/4>0 より、k< - 2√15 , 2√15<k ・・・⑤
A、Bのx座標をそれぞれ、α、β（α<β）とすると、解と係数の関係を用いて、
③より、
α+β= - 16k/15
αβ=(4k²+16)/15

これより、
(β - α)²=(α+β)² - 4αβ
=(-16k/15)² - 4(4k²+16)/15
=(16/15)²k² - (16/15)(k²+4)
=(16/15){(16/15)k² - (k²+4)}
=(16/15){(1/15)k² - 4}

条件より、
β - α=8/15

よって、
(8/15)²=(16/15){(1/15)k² - 4}
(1/15)k² - 4=4/15
k² - 60=4
k²=64
k=±8
これは⑤を満たす。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/03/24 01:04

＞(1)共有点を持たない

ということは、連立方程式が実数解を持たないということです。

x^2 /16 - y^2 /4 = 1　　　①
と
y = 2x + k　　　　　②
を連立させれば、②を①に代入して（めんどうなので 16倍する）
　x^2 - 4(2x + k)^2 = 16
→　x^2 - 16x^2 - 16kx - 4k^2 = 16
→　15x^2 + 16kx + 4k^2 + 16 = 0　　　　③

これが実数解を持たないためには、判別式が負であればよいから、
　D/4 = (8k)^2 - 15(4k^2 + 16)
　　　= 64k^2 - 60k^2 - 240
　　　= 4k^2 - 240 < 0
より
　k^2 < 60
よって
　-√60 < k < √60
→　-2√15 < k < 2√15

＞(2)接する時

これは③の判別式が 0 に等しいときなので
　D/4 = 4k^2 - 240 = 0
よって
　k^2 = 60
→　k = ±2√15

これを③に代入すれば
　15x^2 ± (32√15)x + 256 = 0
→　15[x^2 ± (32/√15)x + 256/15] = 0
→　15[x ± (16/√15)]^2 = 0
よって
　x = ± 16/√15 = ± (16√15)/15

＞(3)異なる二つの共有点A,Bを持ち

これは③の判別式が正で、かつA、B のx座標を a, b とすれば、③が
　15(x - a)(x - b) = 0　　　④
と書けるということです。

判別式より
　D/4 = 4k^2 - 240 > 0
よって
　k^2 > 60
→　k < -2√15, 2√15 < k　　　⑪

④を展開すれば
　15x^2 - 15(a + b)x + 15ab = 0
なので、これが③に等しいことから
　16k = -15(a + b)　　　⑤
　4k^2 + 16 = 15ab　　　⑥
かつ、「AとBの、それぞれのx座標の差が8/15となる」ことから
　|a - b| = 8/15
今、a < b とすれば
　b - a = 8/15　　　　⑦

この⑤～⑦の連立方程式を解けばよい。
⑦から
　b = a + 8/15　　　⑧
として⑤に代入すれば
　16k = -15(a + a + 8/15) = -30a - 8
→　30a = -16k - 8
→　a = -(8/15)k - 4/15　　　⑨
これを⑧に代入すれば
　b = -(8/15)k - 4/15 + 8/15 = -(8/15)k + 4/15　　　⑩

⑨⑩を⑥に代入して
　4k^2 + 16 = 15[-(8/15)k - 4/15][-(8/15)k + 4/15]
　　　　　　＝ (64/15)k^2 - 16/15
→　(4/15)k^2 = 256/15
→　k^2 = 64
→　k = ± 8
これはいずれも⑪の条件を満たす。

従って、求める k の値は
　k = ± 8