高校数学：座標問題

座標平面上に点P(t,2t)がある。点Pからx軸と直線x=2に垂線を引き、その交点をそれぞれQ,Rとし、△PQRの面積をf(t)とする。ただし、△PQRができないときは、f(t)=0とする。
１.
f(1)=[ア]
f(-2)=[イ]
t<[ウ],[エ]>tのとき　f(t)=t^2-[オ]t
[ウ]≦t≦[エ]のとき　f(t)=[カ]t^2+[キ]t

２.
aは正の定数とする。関数f(t)の0≦t≦aにおける最大値が1であるようなaの値の範囲は
　[ケ]≦a≦[コ]+√[サ]　である。

３.
cを定数とし、関数f(t)のc≦t≦c+1における最大値をM(c)とする。
f(c)=f(c+1)となるようなcの値は
c=[シ]/[ス] . [セ][ソ]√[タ]/[チ]　である。
（[ソ]は＋,ー,±いずれかが入る）

また、lを定数としM(c)=lとなるcの値がちょうど4個あるようなlの値の範囲は、√[ツ]/[テ]<l<[ト]であり、このときのcの値の総和は[ナ]である。

=====

差し支えなければ全て、面倒であるならば[キ]まで、教えて頂ければ幸いです。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/04/02 20:44

No.2 です。

続き。

(2) f(t) は
・0≦t≦2 のとき　f(t) = 2t - t^2　　　①
・t<0, 2<t のとき　f(t) = -(2t - t^2) = t^2 - 2t　　　②
です。
これを
　f1(t) = 2t - t^2
　f2(t) = t^2 - 2t
と書きましょう。

このうち①は
　f1(t) = 2t - t^2 = -(t^2 - 2t) = -(t - 1)^2 + 1　　　　③
ですから、
・上に凸の放物線
・頂点は (1, 1)
・軸は t=1
ということになります。

従って
　y = f(t)
のグラフは、③の放物線の f1(t)<0 の分を t 軸より上に折り返したものとなります。

グラフを書けばわかるように、0≦t≦a を変域とした場合には、
・a<1 （つまり変域は 0≦t<1 の範囲内) であれば、最大値は
　f1(a) < 1
・1≦a≦2 であれば、最大値は
　f1(1) = 1
・2<a であれば、②の値が f2(a)<1 のときには最大値は
　　f1(1) = 1
　②の値が f2(a)=1 のときには最大値は
　　f1(1) = f2(a) = 1
　②の値が 1<f2(a) のときには最大値は
　　f2(a) > 1
　このとき、 f2(a)=1 となる a の値は
　　f2(a) = a^2 - 2a = 1
　より
　　a^2 - 2a - 1 = 0
　→　a = 1 ± √(1 + 1) = 1 ± √2
　a>2 の条件から
　　a = 1 + √2
　
ということになります。

つまり、最大値が 1 であるのは、
　1 ≦ a ≦ 2
および
　2 < a ≦1 + √2
両者を合わせて
　1 ≦ a ≦ 1 + √2　　　←ケコサ
ということになります。


(3) これもグラフ上で考えます。
今度は変域に「負」の値も入ります。

f(c)=f(c + 1) となる場合があり得るのは、
・変域に t=0 を含む場合
・変域に t=1 を含む場合
・変域に t=2 を含む場合
の3ケースであることが分かります。

・変域に t=0 を含む場合、つまり
　c<0, 0<c+1
より
　-1 < c < 0　　　④
のとき、変域の下限では f2(c)、上限では f1(c + 1) ということなので
　c^2 - 2c = -(c + 1)^2 + 2(c + 1)
→　c^2 - 2c = -c^2 - 2c - 1 + 2c + 2
→　2c^2 - 2c - 1 = 0
よって
　c = [2 ± √(4 + 8)]/4 = (1 ± √3)/2
④の条件から
　c = (1 - √3)/2　　　　⑤

・変域に t=1 を含む場合、つまり
　c<1, 1<c+1
より
　0 < c < 1　　　⑥
のとき、変域の下限、上限とも f1(c) = f1(c + 1) なので
　-c^2 + 2c = -(c + 1)^2 + 2(c + 1)
→　-c^2 + 2c = -c^2 - 2c - 1 + 2c + 2
→　2c - 1 = 0
よって
　c = 1/2　　　　⑦
これは⑤の条件を満たす。

・変域に t=2 を含む場合、つまり
　c<2, 2<c+1
より
　1 < c < 2　　　⑧
のとき、変域の下限では f1(c)、上限では f2(c + 1) ということなので
　-c^2 + 2c = (c + 1)^2 - 2(c + 1)
→　-c^2 + 2c = c^2 + 2c + 1 - 2c - 2
→　2c^2 - 2c - 1 = 0
よって
　c = [2 ± √(4 + 8)]/4 = (1 ± √3)/2
⑧の条件から
　c = (1 + √3)/2　　　　⑨

以上より、求める c は、⑤⑦⑨より
　c = 1/2, (1 ± √3)/2　（あるいは 1/2 ± (√3)/2 )　←シ～チ


「また～」以降は前半の f(c) = f(c + 1) は関係しないと考えます。
「エル」は数字の「１」と区別がつかないので、大文字の「L」で書きます。
最大値は、c の範囲によって
・c < (1 - √3)/2 のとき f2(c) = c^2 - 2c
・1 - (√3)/2 ≦ c < 1/2 のとき f1(c + 1) = -(c + 1)^2 + 2(c + 1) = -c^2 - 2c - 1 + 2c + 2 = -c^2 + 1
・1/2≦c≦1 のとき 1
・1 < c ≦ (1 + √3)/2 のとき f1(c) = -c^2 + 2c
・(1 + √3)/2 < c のとき f2(c + 1) = (c + 1)^2 - 2(c + 1) = c^2 + 2c + 1 - 2c - 2 = c^2 - 1
ということになります。

M(c) = L となる c が4つということは、L ≠ 1 です。
L = 1 の場合には、1/2≦c≦1 の無数の c が存在することになるので。
従って、1/2≦c≦1 の場合は除外して考えます。

・c < (1 - √3)/2 のとき L = M(c) = c^2 - 2c = (c - 1)^2 - 1
　これより
　　L > [(1 - √3)/2]^2 - 2[(1 - √3)/2] = (1 - 2√3 + 3)/4 - 1 + √3 = (√3)/2

・(1 - √3)/2 ≦ c < 0 のとき L = M(c) = -c^2 + 1
　これより
　　-[(1 - √3)/2]^2 + 1 = -(1 - 2√3 + 3)/4 + 1 = (√3)/2 < L < 1

・1 < c ≦ (1 + √3)/2 のとき L = M(c) = -c^2 + 2c = -(c - 1)^2 + 1
　これより
　 -[(1 + √3)/2]^2 + 2[(1 + √3)/2] = -(1 + 2√3 + 3)/4 + 1 + √3 = (√3)/2 ≦ L < １

・(1 + √3)/2 < c のとき L = M(c) = c^2 - 1
　これより
　　[(1 + √3)/2]^2 - 1 = -(1 + 2√3 + 3)/4 - 1 = (√3)/2 < L

以上より、
　(√3)/2 < L < 1　　　←ツ～ト

上記の4ケースの c の値を c1 ～ c4 と書くと
・c < (1 - √3)/2 のとき M(c1) = (c1)^2 - 2(c1) = L
・(1 - √3)/2 ≦ c < 0 のとき M(c2) = -(c2)^2 + 1 = L
・1 < c ≦ (1 + √3)/2 のとき M(c3) = -(c3)^2 + 2(c3) = L
・(1 + √3)/2 < c のとき M(c4) = (c4)^2 - 1 = L

(c1)^2 - 2(c1) - L = 0
より
　c1 = 1 ± √(1 + L)
c1 < (1 - √3)/2 より
　c1 = 1 - √(1 + L)

(c2)^2 = 1 - L
(1 - √3)/2 ≦ c < 0 より
　c2 = -√(1 - L)

(c3)^2 - 2(c3) + L = 0
より
　c3 = 1 ± √(1 - L)
1 < c3 ≦ (1 + √3)/2 より
　c3 = 1 + √(1 - L)

(c4)^2 = 1 + L
(1 + √3)/2 < c4 より
　c4 = √(1 + L)

従って、
　c1 + c2 + c3 + c4 = 2　　　←ナ

この回答へのお礼

教えて頂きありがとうございました。
数学が苦手なりに噛み砕いて、なんとか理解(たぶん)しました。
座標問題が苦手なので、私も初見でここまで導けるように精進します。

お礼日時：2021/04/03 11:20

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/02 13:12

NO1 です。

すみません、勘違いがありましたので 訂正します。
図を書いて 考えるのが 分かり易いです。
P(t, 2t) で、Q(t, 0), R(2, 2t) ですね。
x 軸と x=2 の交点を S とすると S(2, 0) です。
□PRSQ は 長方形になりますから、
△PQR≡△QSR で面積は 計算できますね。
t<2 と t>2 で 符号が変わりますから 分けて考えると良いでしょう。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/04/02 12:57

△PQR は、P を直角とする直角三角形になりますね。

つまり、その面積は、「長さ」は常に「正」なので
　f(t) = (1/2) * |2t| * |2 - t| = |t(2 - t)| = |2t - t^2|

あとは、t の場合分けをして絶対値を外せばよいだけです。

絶対値は、下記の原則で外します。これ「鉄則」であり「定石」です。
A > 0 なら |A| = A
A < 0 なら |A| = -A (>0)
A = 0 なら |A| = A = -A (= 0)

A=0 は、上の2つのどちらかに含ませればよいです。

(1) 数値を代入して
　f(1) = |2 - 1| = 1　　　　←ア
　f(-2) = |-4 - 4| = 8　　　　←イ

絶対値を外せば
t(2 - t) ≧ 0 のとき、つまり 0≦t≦2 のとき
　f(t) = 2t - t^2　　　①　　←ウ、エ、カ、キ
t(2 - t) < 0 のとき、つまり t<0, 2<t のとき
　f(t) = -(2t - t^2) = t^2 - 2t　　　②　　←ウ、エ、オ

試しに、①に t=1 を代入すれば「ア」になるし、②に t=-2 を代入すれば「イ」になります。

とりあえず「キ」まで。

時間があれば追加も書きます。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/02 11:13

問題の点を 図に書いてみたら どうでしょうか。

取り敢えず t>0 とすれば、第一象限だけの図になりますね。
そして 原点を O とすると、PROQ は 長方形になりますね。
問題の三角形の面積は t を使って 表せますね。
ここまでくれば、イ から キ 迄は 分かると思いますが いかがですか。