数学IAの範囲の問題集に、 2/{3-√8}の整数部分をa,少数部分をbとするとき、 (1) a,b

数学IAの範囲の問題集に、
2/{3-√8}の整数部分をa,少数部分をbとするとき、
(1) a,bの値を求めよ
(2) a^2+b^2+2ab-12a-12b+36の値を求めよ

という問題がありました。
(1) は与式を有理化して6+4√2としてから
25<32<36より5<4√2<6だから11<6+4√2<12
よって、a=11 b=4√2-5となる　と問題集に途中式と解答が記されていたのですが、
有理化したあとの、25<32<36より~以降の考え方がなぜそうなるのかわかりません。
(2)もおなじく、解答の途中式と答が、
(a+b)^2-12(a+b)+36
=(a+b-6)^2
=(6+4√2-6)^2
=32
とかいてあるのですが、a+bの値がどうして
6+4√2になるのかわかりません。6+√2は
一番最初に与式を有理化しただけの値だと思うのですが...
この問題の解き方やアドバイスがございましたらお聞かせ願いたいです。

質問者からの補足コメント

• 最後の式は
  6+√2ではなく6+4√2の間違いです。
  申し訳ありません。

    補足日時：2021/04/20 22:45

• 少数→小数の間違いです。

    補足日時：2021/04/20 22:47

No.2 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2021/04/21 00:21

aもbも正の数であるならば、

a＜b ⇔ a^2＜b^2 を利用する。

4√2＝√32、5＝√25、6＝√36 なので、
√25＝5＜√32＝4√2＜√36＝6
つまり、5＜4√2＜6 が導かれる。

そして、各々に6を足して
5＋6＝11＜6＋4√2＜6＋6
だから11＜6＋4√2＜12 が導かれる。

つまり、6＋4√2＝11.何某なので、整数部分であるaは11だし、
小数部分のbは (6＋4√2)－11＝4√2－5であることがわかる。
だから、a＋b は最初の数である 6＋4√2 そのものになる。

※8/7＝1.142857142857・・・の場合、
整数部分は1だし、小数部分は8/7－1となるのに似ている。

以上が（１）
次は（２）

a^2＋b^2＋2ab－12a－12b＋36
（a＝11、b＝4√2－5を代入して計算してもいいけど、下記の計算が簡単だね。）
＝(a＋b)^2－12(a＋b)＋36
＝(a＋b－6)^2
＝(6＋4√2－6)^2
＝(4√2)^2
＝32

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/04/21 00:00

(1) は与式を有理化して6+4√2としてから

25<32<36より5<4√2<6だから11<6+4√2<12
よって、a=11 b=4√2-5となる　と問題集に途中式と解答が記されていたのですが、
有理化したあとの、25<32<36より~以降の考え方がなぜそうなるのかわかりません。

2/(3 - √8) = 2(3 + √8)/[(3 - √8)(3 + √8)]
　　　　　= (6 + 2√8)/(9 - 8)
　　　　　= 6 + 4√2　　　　　①
　　　　　= 6 + √32　　　　　②

ここで
　5 < √32 < 6
になるのは分かりますか？
従って、②は
　11 < 6 + √32 < 12
になります。

これを、①から
　1 < √2 < 2
を使うと
　10 < 6 + 4√2 < 14
となって、範囲が絞りこめません。


＞a+bの値がどうして
＞6+4√2になるのかわかりません。

だって、①の整数部分を a、小数部分を b としたのだから、
　6 + 4√2 = a + b
ということですよ？

この回答へのお礼

丁寧な説明感謝致します。

お礼日時：2021/04/21 18:27