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ガウスの法則について質問です。
半径aの球場に電荷が密度pで一様に分布している。球の中心Oから距離rである点Pにおける電界を求めよ。という問題でr<aのとき
∮E→・n→ds=Q/εの右辺は4Πr^2Eと変形していたのですが、なぜこのような変形ができるのでしょうか?Eはrを変数に持つのでEを外に出してE∮dsとすることは不可能ですよね?

gooドクター

A 回答 (6件)

左辺は電荷を包む曲面での積分だけど、


これは任意の曲面で成り立つので
ある点での電場を求めるだけなら、計算に都合のよい形を選べば良い。
Oを中心とする球面を選べば、面積素ベクトルと電場は常に平行だし、
対称性からEの大きさは一定。積分は
Eの大きさ×球の面積=E×4πr^2
で簡単に元まる。

左辺の積分はEを水の水流速度ととらえると
曲面の内部から湧き出す単位時間あたりの総水量。
このイメージをまずつかむことが大切です。
右辺は単位時間あたりの総水量が電荷で
決まることを現します。
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あと細かい話になりますが、面を表す場合には私がずっと書いているように



∮EdS

と言う具合に大文字のSにするべきです。小文字のsだと例えば仕事を表す

∫Fds

のように距離で積分すると言う意味になってしまいます。
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回答を一部訂正。

電荷密度が一様な球状の電荷が作る静電場を求める問題と言う事ですね。ガウスの法則の面積分の領域を任意の閉曲面に取ってしまうと確かにEを積分の外に出す事なんて不可能ですが、この場合は球対称な電場である事が分かっているわけですから、積分領域は球の中心から半径rの球面を取ればいいわけですし、またこの球面上ではEは一定なので積分に関してはEは定数扱いできます。なので質問文にあったような

∮EdS=E∮dS

と言う具合にEを積分の外に出す事が許されるわけです。
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ガウスの法則の導出法を思い出して下さい。

そもそも

∮EndS=En∮dS

などと言った式の変形は行っていません。

EndS=EcosθdS

=(1/4πε0)(Q/r^2)cosθdS

と変形した所で

(1/r^2)cosθdS=dΩ

と言う具合に立体角に置き換えるので、以下の積分ではrが消えて

∫dΩ=4π

となり、結局

∮EndS=Q/ε0

となるわけです。
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No.1 です。

「お礼」について。

>半径rにおける電場の大きさと言うのは、積分を考えるときrは変化しないので、Eを定数と見るということですか?

そうですよ。
E は r の関数であれば、r の値が決まれば E の値も決まるでしょう?

積分変数は「r」ではなく「s」(半径 r を固定したときの球の表面積の要素)ですから。
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「右辺」ではなくて「左辺」ですよね?



左辺の「球の表面積分」は、半径 r の球の表面積が
 S = 4パイr^2
ですから、電場の大きさが「球面対称」であることを使えば

左辺 = 4パイr^2*E

となります。
これ、ガウスの法則を使う基本のキだと思いますが?

>Eはrを変数に持つので

はい。でも、ここでは「半径 r におけるガウス面」で積分していますから、そのときの E は「半径 r における電場の大きさ」ですよ?
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この回答へのお礼

半径rにおける電場の大きさと言うのは、積分を考えるときrは変化しないので、Eを定数と見るということですか?

お礼日時:2021/04/23 13:08

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