3次元空間における、三角形の回転行列について

3次元極座標表示で考えます。

原点をOとして、三角形A = [O, (r1, θ1, φ1), (r2, θ2, φ2)] と表します。

この三角形Aを原点周りに回転させて、新たな三角形A' = [O, (r1', θ1', φ1'), (r2', θ2', φ2')] を得ます。

AからA'へ回転行列は、どのような式になりますでしょうか？

どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら、ご教授よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• そうでしたね。r'はおかしかったですね。修正しておきます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/04/30 12:19

• 質問を編集しようと思ったのですが、できませんでした。補足についてですが、r'はrの間違いでした。修正しますと、
  
  三角形 A = [O, (r1, θ1, φ1), (r2, θ2, φ2)]
  新たな三角形 A' = [O, (r1, θ1', φ1'), (r2, θ2', φ2')]
  
  となります。よろしくお願いします。

    補足日時：2021/04/30 12:25

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/30 17:10

答えじゃありませんが、

回転だとすると、三角形の形は変わらないから
θ1',φ1', θ2', φ2' は独立じゃないですよね。
そこがちょっと厄介そう。

4点が決まれば

A = [o, a, b]
A' = [o,a', b']

では球面上に中心から a, a', b, b' を投影した位置を
p、q, p', q' とすると

p, p' を結ぶ球面上の弧を垂直2等分する弧と
q, q' を結ぶ球面上の弧を垂直2等分する弧が球面上で
交わる2点が分かると回転軸が求まるので、
2つの弧の交差角が求められれば回転角がわかるので、
ロドリゲスの回転行列が求められます。

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …

球面三角はあまりやったことがないので、こっから後は
すぐに出てこないです。ゆっくり考えればわかりそうですが・・・

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/30 13:48

回転だろうが何だろうが、３次元の一次変換は

３個のベクトルとその像の組み合わせが与えれれれば決まります。

質問の一次変換は、
(r1, θ1, φ1) を (r1, θ1’, φ1’) へ、
(r2, θ2, φ2) を (r2, θ2’, φ2’) へ、
外積 (r1, θ1, φ1)×(r2, θ2, φ2) 方向の単位ベクトルを
(r1, θ1’, φ1’)×(r2, θ2’, φ2’) 方向の単位ベクトルへ
移しますね。
後は、 MP = P’ の両辺に右から P^-1 を掛けて
行列 M を求めるだけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！法線ベクトルがもう一本のベクトルになるのですね。プログラムで実装して確認したら、ちゃんと変換できていました。とても勉強になりました。これをベストアンサーにしたいと思います。

お礼日時：2021/05/03 08:59

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/30 11:41

rは変化しないと思うのだが・・・・

回転行列は直交行列だから、これと、質問の条件と組み合わせれば行列が
求まりそう。