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地学の問題です。
ある星の年周視差を計測したところ、それは 66 ミリ秒、つまり 0.066 秒であった。(角度としての 秒は 1/60 分、分は 1/60 度である)角度をラジアン単位で表したものを θ とするとき、θ ≈ sin θ ≈ tan θ、つまりθ の値そのものと、それのサイン、タンジェントが同じ値になると思ってよいことを 用いてこの星の距離を天文単位で答えよ。すなわち地球ー太陽間距離の何倍になるかで答えよ。という問題なのですが全く意味がわかりません。教えてくださいお願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

角度の「ラジアン」を正しく理解できていますか?



「ラジアン」は、「半径」と「円周の長さ」の比で「角度」を表す方法であり、半径=1 つまり「単位円」の円周の長さが「角度」に相当します。
だから「1周、360°」が「2パイ」になる。
ラジアンは、そもそも「長さの比」(半径と円周の比)なので、その基準を「1」にとれば「角度が長さになる」という関係なのです。

そして、角度θが非常に小さいときには、それを「中心角」とした「扇形」(ほとんど「針」みたいな扇形)、半径を2辺とする「二等辺三角形」は、ほとんど「直角三角形」とみなしてよいようになります。
斜辺側を「単位円の半径」と考えれば、円周の長さ ≒ sinθ だし、底辺側を「単位円の半径」と考えれば、円周の長さ ≒ tanθ になりますよね?
ラジアンの定義から「円周の長さ = θ」なので
 θ ≒ sinθ
 θ ≒ tanθ
ということになります。

ということで、
 0.0066秒 = 2パイ × [0.0066秒/(360° × 60分 × 60秒)]
      ≒ 3.1 × 10^(-8) ラジアン
であり、その角度に相当する「円周の長さ」が「地球公転の直径」つまり「地球ー太陽間距離(天文単位:au)の2倍」に相当するものだということになります。
地球とその星との距離を X とすると
 X*tanθ ≒ 2au
ということですから、
 X ≒ 2au/tanθ ≒ 2au/θ≒ 2au/[3.1 × 10^(-8)]
≒ 6.5 * 10^7 au
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