位相空間にまつわる数学用語の言い回しが何を意味するか分からないので教えて頂けたら嬉しいです<(_ _

位相空間にまつわる数学用語の言い回しが何を意味するか分からないので教えて頂けたら嬉しいです<(_ _)>
(質問に群内容が含まれますが群が分からなくてもお答えいただけます)

位相群GがGL(n,ℂ)の部分群であってGの近傍Vを適当にとると
Vの位相はGL(n,ℂ)からの相対位相に等しい

という仮定は、次のどちらを意味するのでしょうか。


1. GからVに相対位相をいれて位相空間とみなしたものと、GL(n,ℂ)からVに相対位相を入れてVを位相空間とみなしたものが等しい

2.Vに含まれるGの任意の開集合Oᵥに対し、GL(n,ℂ)の開集合Oᵥ'が存在して
Oᵥ＝G∩Oᵥ'と必ず書ける

皆さんの知恵を拝借したいです。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 訂正があります。すみません。
  ×Gの近傍V
  〇Gの単位元の近傍V
  です、よろしくお願いします。

    補足日時：2021/06/01 14:40

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/01 14:31

意味も何も、もとの文章がおかしい。

＞ Vの位相はGL(n,ℂ)からの相対位相に等しい
と書いてあるが、 G ⊂ V ⊂ GL(n,C) なので、
G から V へ相対位相を入れることはできず、
この文の「Vの位相」が何なのか、サッパリ判らない。
それが GL(n,C) からの相対位相なのであれば、
GL(n,C) からの相対位相と等しいのはアタリマエだ。

この回答へのお礼

失礼しました、Gの単位元の近傍Vでした。大変申し訳ありません。

お礼日時：2021/06/01 14:33

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/01 21:01

「単位元の近傍」については、了解。

すると、その文が言っていることは、1. と一致する。
2. は V の位相が GL(n,C) からの相対位相の部分位相
であることしか言っておらず、内容は 1. より弱い。

ただし、G の位相が GL(n,C) からの相対位相だとは
書かれてないから、文の主張は真とは限らない。
例えば、位相群 G の位相が離散位相だったりすると、
あの文の主張は偽となる。
まあ、定理ではなく「仮定」と言っているから、
偽でもかまわないのかもしれないけど。

この回答へのお礼

分かりました、ありがとうございます！
これはリー群と表現論(小林俊行 大島利雄)
の部分Lie群の定義の条件のひとつです。

お礼日時：2021/06/01 22:52