物理の問題についてです

質量 m = ９ kg の物体に，ばね定数 k = 90 N/m のばねと粘性減衰定数c = ９kg/s のダッシュポットを取り付けた．物体の位置を x とする．t = 0 において，x = 0，dx/dt= v0 = 1.0 m/s のとき，物体はどのような運動をするかを式で表すにはどうすればよいですかおしえてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/02 18:29

運動方程式は、「働く力」と「運動の変化（加速度）」との関係を示すものであり、ここで働く力は

・ばねの復元力：中立位置からの変位を x [m] とすると
　　Fs = -kx = -90x [N]
　（マイナスは、変位 x の逆向きであるため）
・ダッシュポットの抵抗力は、粘性減衰定数が
　　c [kg/s] = [kg･(m/s^2)/{(m/s^2)･s}]
　　　　　　= [N/{m/s}]
　なので「速度」をかけると「力」になる。
　力の向きは、速度とは逆方向になるはず。

従って、運動方程式は
　m*d²x/dt² = - kx - c*dx/dt
これを書きかえれば
　d²x/dt² + (c/m)dx/dt + (k/m)x = 0　　　①

これは、2階斉次微分方程式なので、特性方程式の解によって一般解を求めればよい。
解き方はこちら。
↓
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibu …

特性方程式の解がどうなるか（2つの異なる実数解、重解、虚数解）は係数「m, k, c」の相対的な関係によるので、場合分けして解く必要があります。
その結果は、下記のような「減衰振動」になります。

減衰振動
↓
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …


お示しの係数の条件だと、①の微分方程式は
　　d²x/dt² + dx/dt + 10x = 0　　　　①
になるので、特性方程式は
　t^2 + t + 10 = 0
これは虚数解
　t = [-1 ± √(1 - 40)]/2
　　= -(1/2) ± [(√39)/2]i
を持つので、①の一般解は
　x(t) = C1*e^[-(1/2)t]*sin{[(√39)/2]t} + C2*e^[-(1/2)t]*cosn{[(√39)/2]t}

初期条件より
　x(0) = C2 = 0

従って
　x(t) = C1*e^[-(1/2)t]*sin{[(√39)/2]t}

よって
　v(t) = dx/dt = -(1/2)C1*e^[-(1/2)t]*sin{[(√39)/2]t} + [(√39)/2]C1*e^[-(1/2)t]*cos{[(√39)/2]t}
初期条件より
　v(0) = [(√39)/2]C1 = 1.0
より
　C1 = 2/(√39)

よって
　x(t) = [2/(√39)]e^[-(1/2)t]*sin{[(√39)/2]t}

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。
おかげで頭の中が整理できました！

お礼日時：2021/06/03 21:51