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先日、複素数の場合、指数法則が成り立たない場合があることを学ぶ機会があり、それだからというわけでもないのですが、0^i、i^0を考えてみました。(i;虚数)
 0^i=0となりそうですが、0=e^πi+1とすると、0^i=(e^πi+1)^i となり、単純に0とはいかなそうです。i^0も=1としたいのですが…。(e;ネイピア数)
そもそも、a^x=e^(x㏑a)とすると、a=0で㏑0となり定義できないし、a=iの場合も、㏑iとなって、定義がどうなるのか定かでない。しかし、これではsin、cosのテイラー展開の計算が非常に困難になるため、xが自然数の場合はa^x=0にすると約束している(ようです)。
付け加えるなら、0^0=1とすると、計算機科学上、非常に都合がよいらしい。
それで、”教えて”となるわけですが、以下の二つの疑問となります。
①0^iは定義されているのか?また、i^0=1としてよいのか?
②対数を用いずに、a^xを定義できるうまい方法はあるのか?
以上です。どなたか、ご教示いただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

  • 補足質問いたします。i=e^πi/2から㏑i=㏑(e^πi/2)=πi/2 もしくは=πi/2+2nπ としてよいのですね?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/06/23 10:25
gooドクター

A 回答 (4件)

*は単なる掛け算の意味なのですが誤解されるので書き直します



t=arg(a)=(aの偏角)
a=|a|e^(it)
a^x=(|a|^x)e^(itx)
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この回答へのお礼

度重なる質問にお答えいただきありがとうございました。

お礼日時:2021/06/24 10:38

間違えました



i=e^{i(π/2+2nπ)}
nは任意の整数
から

ln(i)=i(π/2+2nπ)
nは任意の整数
でした
------------------

a^x=(|a|^x)e^{ix*arg(a)}

arg(a)=(aの偏角)
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。自分も早とちりしていました。念のためにa^xの式に出てくる*の定義を教えていただければと思います。また、自分勝手にこうだと勘違いしたくないので…。お手数をおかけしますがお願い致します。

お礼日時:2021/06/23 12:43

はい


i=e^(πi/2+2nπ)
nは任意の整数
から

ln(i)=πi/2+2nπ
nは任意の整数
でよいです
------------------

a^x=(|a|^x)e^{ix*arg(a)}

arg(a)=(aの偏角)
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①0^iは定義されていません


i=e^(iπ/2)
だから
i^0={e^(iπ/2)}^0=e^(0*iπ/2)=1


a=re^(it)
となる実数r>0,tがあるから

a^x=(r^x)e^(itx)
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

御回答、ありがとうございました。

お礼日時:2021/06/23 10:14

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