数Ⅱで直線の方程式を作る際、y-△=(傾き)(x-□)のかたちで作る方程式がなぜそのかたちになるのか

数Ⅱで直線の方程式を作る際、y-△=(傾き)(x-□)のかたちで作る方程式がなぜそのかたちになるのかわかりません。いつもy=…と書いて間違えてしまいます。なぜy-…のかたちになるんですか?

No.1 回答者： oo14 回答日時： 2021/06/24 06:09

△や□のところに0を入れてみるとわかりやすいのでは？

No.2 回答者： nantokanaru 回答日時： 2021/06/24 06:28

慣れている形は　ｙ＝　だと思いますが、

２つの点からグラフを求めるときは
間違えにくくなる書き方だからです。


１）
傾きをａとするとグラフ上の２つの点では

ａ＝（ｙの変化量）÷（ｘの変化量）より、

ａ＝（ｙ₂－ｙ₁）÷（ｘ₂－ｘ₁）

で求めます。


２）
直線のグラフになっても

ａ＝（ｙの変化量）÷（ｘの変化量）

は変わりません。

後は直線の延長上の（ｘ，ｙ）という点で

ａ＝（ｙ－ｙ₁）÷（ｘ－ｘ₁）

にａ、ｘ₁ 、ｙ₁ の値を代入します。

両辺に（ｘ－ｘ₁）をかけると

ａ（ｘ－ｘ₁）＝　ｙ－ｙ₁

になります。


３）
ｙについて整理すると、

ｙ＝ａ（ｘ－ｘ₁）＋ｙ₁

ｙ＝ａｘ－ａｘ₁＋ｙ₁

ｙ＝ａｘ＋ｂ


という見慣れた形になります。

No.3 回答者： タムシバ 回答日時： 2021/06/24 07:06

y-△=(傾き)(x-□)

＝(傾き)(x-□)+△
となって，これは直線がｘ軸方向に□，ｙ軸方向に△，移動したものです。
よって，一般の直線の方程式y=ax+b（ aは傾き，a≠0），bは切片と同じ形で何ら変わりはないと思いますが・・・

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/06/24 07:16

直線の式を y=(傾き)x + k とします。

この直線が点(□、△)を通るとすると、
△=(傾き)□ + k
k=△－(傾き)□
これより、直線の式は、
y=(傾き)x + △－(傾き)□
したがって、
y－△=(傾き)(x－□)

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2021/06/24 11:06

＞y-△=(傾き)(x-□)のかたちで作る方程式がなぜ・・・

直線 y=(傾き)x を x 軸方向に □、y 軸方向に △ 平行移動すると、
質問文にある y-△=(傾き)(x-□)　となります。
△ を 右辺に移項して y=(傾き)(x-□)+△ としても良いですよ。
それで 間違うと云う事は △ の部分を 書き忘れるのかな。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2021/06/24 11:55

その形は教科書にも公式として載っていましたが、その形で覚えては絶対にダメです。

(y-△)/(x-□)=傾き

と言う形なら「xの増分」分の「yの増分」イコール傾きと言う意味になるので式の意味がすぐに分かります。さらに言えば「直線とは何か」「傾きとは何か」さえ理解していれば直線の方程式は自動的に出て来るので覚える必要がありません。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/24 12:04

公式主義的な質問だなあ。

覚える公式は、y-△=(傾き)(x-□) じゃなくても
y=(傾き)(x-□)+△ で別にかまいませんよ。

公式暗記をしようとすると
y=(傾き)(x-□)+△ のどっちが + でどっちが - か
間違える子供がけっこう多いので、
参考書や塾によっては、 - で統一して
y-△=(傾き)(x-□) のほうを覚えることを勧めています。

でも、そんな小細工って、内容を理解せずに
結果の式を呪文のように暗記しようとするから
必要になるだけです。
式の由来が解っていれば、
y-△=(傾き)(x-□) と
y=(傾き)(x-□)+△ は素直に同じ式だと思えるでしょう。
△ を移項しただけですしね。

由来は、こうです。
直線は、原点を通る直線を平行移動したものです。
原点を通る直線の式は、小学校で習った比例の式
y = (傾き)x です。 この式上の点の座標を (p,q) と置くと、
p,q の間には q = (傾き)p の関係があります。　　←[1]
次に、比例の直線を点 (□,△) を通るように平行移動
することを考えます。 原点を (□,△) へ移せばいいので、
移動後の点を (u,v) とすると、この平行移動は
u = p + □, v = q + △ という式になります。　　←[2]
[2]の式を使って[1]の式から p,q を消せば、
v-△=(傾き)(u-□) となります。そんな関係を満たす (u,v)
が乗っている線の方程式は、y-△=(傾き)(x-□) です。

直線に限らず、y = f(x) を原点が (□,△) へ移るように
平行移動したグラフの方程式は y-△ = f(x-□) になります。
上の考え方とともに、これを覚えておいてもよいかな。

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2021/06/24 14:52

追記。

「いつもy=…と書いて間違えてしまいます」とありますが、テスト等の解答として最終的に書くのはy=…と言う形の式です。公式として出ている式はそのままの形だと定数項が2つある事になってまとまりがないわけですから。

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2021/06/24 15:53

ちなみに私が最初の回答で概略だけ書いた求め方をもう少し詳しく書くと以下のようなものになります。

点P1(x1,y1)を通る傾きmの直線の方程式を求める問題を考えると、この直線上の任意の点P(x,y)と点P1との間のxの値の増分⊿xは

⊿x=x-x1

yの増分も同様に

⊿y=y-y1

傾きとは⊿y/⊿xの事であり、直線とはこれが一定値(この場合はm)である線の事なので、求める直線の方程式は

(y-y1)/(x-x1)=m


なおこの式を少し整理すれば教科書等に載っている形の公式になりますが、この形のまま止めて理解した方が「直線とは傾きが一定の線」と言う直線の性質がそのまま現れているので便利だと思います。


cf:私が高校の時の数学の先生に「公式を覚えてはいけない」と言っていた先生がいました。そして教科書に載っていた直線の方程式も私が書いたように「こんな公式は覚えてはいけない」と言って私が書いた形の式を説明されました。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/24 18:15

求める直線は、

(y-y1)/(x-x1)=m じゃなく
(y-y1)/(x-x1)=m または (x,y)=(x1,y1) ですよ。
細かいことだけどね。

大切なのは、傾きの定義よりも
平行移動が方程式にどう反映されるか？だと思う。
そうじゃないと、
二次関数のときに全く同じ話を繰り返すことになる。
一を聞いて十を知るのが数学なんだから。