至急！数学が得意な方に質問です。 L(λ,x,y)=2^-1.5x^0.5y^0.5+λ(12.5-

至急！数学が得意な方に質問です。
L(λ,x,y)=2^-1.5x^0.5y^0.5+λ(12.5-20x-y)
この関数を偏微分してほしいです。そしてλ,x,yの値を求めてほしいです。
そして偏微分したものをさらに偏微分して求めてほしいです。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/28 20:39

式の読み方は、

L(λ,x,y) = (2^-1.5)(x^0.5)(y^0.5) + λ(12.5 - 20x - y)
でいいのかな？

＞この関数を偏微分してほしいです
λで偏微分すると
∂L/∂λ = 12.5 - 20x - y,
x で偏微分すると
∂L/∂x = (2^-1.5)(0.5x^-0.5)(y^0.5) + λ(-20)
　　　　= (2^-2.5)(x^-0.5)(y^0.5) - 20λ,
y で偏微分すると
∂L/∂y = (2^-1.5)(x^0.5)(0.5y^-0.5) + λ(-1)
　　　　= (2^-2.5)(x^0.5)(y^-0.5) - λ.
偏微分は、高校で習った普通の微分のことです。
常微分は難しいけれど、偏微分はただ微分するだけ。
(d/dx)(ax^2+bx+c) を計算するとき a,b,c を取り扱ったのと同じように、
∂L/∂λ を計算するとき x,y は定数として取り扱うだけです。

＞そしてλ,x,yの値を求めてほしいです。
微分しただけでは、λ,x,y の値は決まりません。
どのような条件を満たす λ,x,y を求めたいのか の情報が必要です。

＞そして偏微分したものをさらに偏微分して求めてほしいです。
偏微分したものをさらに偏微分すると、
∂²L/∂λ² 　= 0，
∂²L/∂λ∂x = -20,
∂²L/∂λ∂y = -1,
∂²L/∂x∂λ = -20,
∂²L/∂x² 　 = (2^-2.5)(-0.5x^-1.5)(y^0.5)
　　　　　　 = - (2^-3.5)(x^-1.5)(y^0.5),
∂²L/∂x∂y = (2^-2.5)(x^-0.5)(0.5y^-0.5)
　　　　　　 = (2^-3.5)(x^-0.5)(y^-0.5),
∂²L/∂y∂λ = -1,
∂²L/∂y∂x = (2^-2.5)(0.5x^-0.5)(y^-0.5)
　　　　　　 = (2^-3.5)(x^-0.5)(y^-0.5),
∂²L/∂y²　　 = (2^-2.5)(x^0.5)(-0.5y^-1.5)
　　　　　 　 = - (2^-3.5)(x^0.5)(y^-1.5).
これらが、 L の2階偏微分です。
このうち、
∂²L/∂λ∂x = ∂²L/∂x∂λ,
∂²L/∂λ∂y = ∂²L/∂y∂λ,
∂²L/∂x∂y = ∂²L/∂y∂x
であることは計算する前から判っているので、
どちらか一方づつを求めただけでもかまいません。

＞さらに偏微分して求めてほしい
というのは、単にもういちど偏微分してほしいという意味でしょうか？
それとも、偏微分したものを使って何かを求めてほしいという意味でしょうか？
後者だとしたら、「何を」求めて欲しいのか、書かないと判りません。

この回答へのお礼

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/12433531.html

実はこちらの問題について自分なりに式を考えて解こうとしたのですが、どうやら間違えていたようです。
締め切りも近いのですが↑の問題を解いていただけないでしょうか？

お礼日時：2021/06/28 20:42