連続確率変数 X の確率密度関数 fX(⋅) が以下のように与えられているとする． fX (x) =

連続確率変数 X の確率密度関数 fX(⋅) が以下のように与えられているとする．
fX (x) = {1, -1/2<=x<1/2, 0, otherwise.}
この確率変数の分散を求めなさい。

この問題を自分で解いてみると↓

-1/2<=x<1/2のときfX(x)=1
それ以外のときfX(x)=0

E[X] = ∫[-1/2,1/2] x (1) dx=-1/2-1/2=-1

V[X] = ∫[(-1/2)^2,(1/2)^2] x (1) dx −E＝1/4-1/4-(-1)=1

となったのですが、解き方や答えは合っていますか？教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/22 01:07

企業で統計を推進する立場の者です。

既に正解は#1さんによって示されていますが、別解を示します。

ところで・・・
まずは、密度関数の形をグラフに描いてみて下さい。
原点を中心に左右対称な、横軸±1/2の範囲で高さ１の正方形ですよ。そのような密度関数であれば平均が０だと計算しなくても出るはずです。

さて、#1さんは、２次の中心積率で解いていらっしゃますが、分散の公式を使って解いてみましょう。

最初に２乗の平均を１次の積率から求める
E(x^2)＝∫x^2・１dx＝1/3・x^3
これを-1/2から1/2まで定積分すると、E(x^2)＝1/12

この結果を分散の公式に代入すると、
V(X)＝E(X^2)ーE(X)^2＝1/12ー０＝1/12

検算はご自分でお願いします。

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/07/25 12:32

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/22 12:03

解き方というか、計算が間違っています。

E[X] = ∫[-1/2,1/2] x (1) dx　　　←これはok
　　= ∫[-1/2,1/2] x dx
　　= [　(1/2)x^2　]_(-1/2,1/2)　　←この積分が違う
　　= (1/2)(1/2)^2 - (1/2)(-1/2)^2
　　= 0.
V[X] の計算には E[X] の値を使うので、ここでアウトですね。

V[X] のほうは、その式の考え方もよく判らないな。
∫[(-1/2)^2,(1/2)^2] x (1) dx − E というのは、何をどうした式なんだろう？
∫[(-1/2)^2,(1/2)^2] x (1) dx = 1/4 - 1/4 という計算も違うし。
分散の定義どおりにいけば、
V[X] = ∫[-∞,+∞] (x - E(X))^2 fX(x) dx
　　= ∫[-1/2,1/2] (x - 0)^2 (1) dx
　　= ∫[-1/2,1/2] x^2 dx
　　= [　(1/3)x^3　]_(-1/2,1/2)
　　= (1/3)(1/2)^3 - (1/3)(-1/2)^3
　　= 1/12.

No.1 回答者： CuriousLupin 回答日時： 2021/07/22 00:36

これ、E[X]やV[X]と書いてますが、Xは変数ではないですよね。

その前提で考えますと、
E= ∫[-∞,∞] x*ｆX(x) dx= ∫[-1/2,1/2] x dx=1/2*[(1/2)^2-(-1/2)^2]=0

V[X]= ∫[-∞,∞] (x-E）^2*ｆX(x) dx=∫[-1/2,1/2] x^2 dx=(1/3)*[(1/2)^3-(-1/2)^3]=1/12
となって分散は、1/12 だと思います。